Inférence statistique et équations différentielles stochastiques. Applications en hydrologie.

Statistical inference and stochastic differential equations. Applications in hydrology.

• Auteur / Autrice : Jasmine Cesars
• Direction : Jean Vaillant, Paul Silvère Nuiro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 13/12/2019
• Etablissement(s) : Antilles
• Ecole(s) doctorale(s) : Milieu insulaire tropical à risques
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de Mathématiques Informatique et Applications
• Jury : Président / Présidente : Pascal Poullet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Vaillant, Paul Silvère Nuiro, Pascal Poullet, Evans Gouno, Mitra Fouladirad, Javier Tréjos
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Evans Gouno, Mitra Fouladirad

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien, Processus de

Lévy, Processus de

Mots clés libres

Mathématiques

Équations différentielles

Inférence statistique

Application en hydrologie

Processus de Wiener

Mathematics

Differential equations

Statistical inference

Application in hydrology

Wiener process

Résumé

Les ´equations diff´erentielles stochastiques (EDS) sont souvent utilis´ees pour mod´eliserdes ph´enom`enes al´eatoires en temps continu. C’est le cas des EDS ayant poursolution des processus dits de diffusion qui servent `a d´ecrire des propagations demaladie ou des cours financiers. L’´etude des EDS gouvern´ees par le processus deWiener (ou mouvement brownien) a connu des avanc´ees significatives ces derni`eresann´ees mais celle concernant des EDS gouvern´ees par des processus de L´evy `asauts, en raison de sa complexit´e, est moins d´evelopp´ee. Dans cette th`ese, nous nousint´eressons `a des EDS `a sauts, `a solution explicite tel que le mod`ele de Black-Scholesgouvern´e par un processus de Poisson associ´e `a des sauts stochastiques. Le processusde Langevin `a sauts al´eatoires est ´egalement ´etudi´e. Les propri´et´es distributionnellesde ces mod`eles sont pr´esent´ees, en particulier le fait que les solutions directesou transform´ees des EDS associ´ees peuvent ˆetre des processus `a accroissementsind´ependants. Le lien avec les caract´eristiques probabilistes des amplitudes de sautest mis en avant. Dans la pratique, l’observation d’un processus solution de cesEDS ne peut se faire qu’en temps discret alors qu’il s’agit d’un processus en tempscontinu. Les r´esultats, que nous avons obtenus concernant les lois de probabilit´esassoci´ees `a des observations en temps discret, permettent d’´etablir des vraisemblancesconditionnelles ou non conditionnelles utiles pour l’inf´erence statistique surles param`etres du mod`ele consid´er´e. Ainsi l’´etude du logarithme du rapport devraisemblance est men´ee dans le cas du mod`ele de Black-Scholes `a sauts et `a r´egimes.Un test de rupture relatif au taux de d´ecroissance est propos´e ainsi que des m´ethodesde simulations num´eriques des solutions des EDS consid´er´ees. Des scripts ´ecrits dansl’environnement de programmation permettent de g´en´erer des jeux de donn´eesartificielles offrant des possibilit´es de tester des outils inf´erentiels d´evelopp´es. Uneapplication en hydrologie est effectu´ee `a partir de donn´ees concernant la Guadeloupeet provenant de la banque HYDRO.

Stochastic differential equations (SDE) are often used to model random phenomenain continuous time. This is the case for SDE whose solution are diffusion processesdescribing propagations of diseases or financial stocks. The study of SDE governed bya Wiener process (or Brownian motion) has made good progress in recent years, butthe SDE governed by Levy processes jump are less studied due to their complexity.In this PhD work, we are interested in SDE with jumps, having an explicit solutionsuch as the Black-Scholes model governed by a Poisson process associated withstochastic jumps. The Langevin process with random jumps is also studied. Thedistributional properties of these models are presented, in particular the fact thatthe direct or transformed solutions of the associated SDE can be processes withindependent increments. The link with the probabilistic characteristics of the jumpamplitudes is highlighted. In practice, the observation of a solution process of theseSDE can be carried out only in discrete time whereas it is a continuous time process.The results, which we have obtained concerning the laws of probability associatedwith discrete time observations, allow to establish conditional likelihood useful forstatistical inference on the model parameters. Thus, the study of the logarithm of thelikelihood ratio is conducted in the case of the Black-Scholes model with jumps andchange points. A change point test about the intrinsic rate of decrease is proposedas well as methods of numerical simulations of the SDE solutions. Scripts writtenin the programming environment allows to generate artificial data sets offeringpossibilities to test inferential tools. An application in hydrology is carried out fromdata concerning Guadeloupe and from the HYDRO bank.