Géométrie de certains espaces de courbure négative

Geometry of some nonpositively curved spaces

• Auteur / Autrice : Arnaud Stocker
• Direction : Peter Haïssinsky, Gérard Besson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 19/06/2019
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
• Jury : Président / Présidente : Gilles Courtois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gérard Besson, Marc Bourdon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Barbara Schapira, Joël Fine

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie de Riemann

Groupes hyperboliques

Géométrie dans l'espace

Mots clés libres

Géométrie CAT(-1)

Flot géodésique

Groupes acylindriquement hyperboliques

Géométrie riemannienne

CAT(-1) geometry

Geodesic flow

Acylindrically hyperbolic groups

Riemannian geometry

Résumé

Dans cette thèse, on étudie certains espaces de courbure négative et les groupes agissant géométriquement dessus. La première famille d'exemples que nous étudions est due à Gromov et Thurston et s'obtient par revêtements ramifiés de variétés hyperboliques. Ces espaces sont munis d'une métrique de courbure constante égale à -1 et possèdent une singularité conique d'angle 2kπ le long d'une sous-variété de codimension 2 où k est le degré de ramification. En étudiant le flot géodésique, on montre que l'entropie volumique (ou, de manière équivalente, l'exposant critique du groupe fondamental) croît comme le logarithme du degré de ramification. Les seconds exemples qui nous intéressent sont des espaces de courbure négative possédant un ouvert de courbure strictement négative. Il s'avère que cette contrainte locale a des conséquences sur la géométrie globale du groupe fondamental de ces espaces. En effet, on montre que les groupes fondamentaux de tels espaces possèdent une forme faible d'hyperbolicité, l'hyperbolicité acylindrique

In this thesis, we investigate the geometry of some examples of nonpositively curved spaces together with their fundamental groups. The first family of examples we study is due to Gromov and Thurston and is obtained by taking ramified covers of hyperbolic manifolds. These spaces can be endowed with a metric of constant negative curvature with conical singularities of angle 2kπ along a codimension 2 submanifold, where k is the branching degree. By studying the geodesic flow, we prove that the volume entropy (or equivalently, the critical exponent of the fundamental group) of these spaces grows as the logarithm of the branching degree. The second family of examples we are interested in are nonpositively curved spaces admitting an open set of negative curvature. It turns out that this local constraint has consequences on the global geometry of its fundamental group since it implies that it is acylindrically hyperbolic, a weak form of negative curvature