Sur l’existence pour le problème de plateau dans les espaces de Banach de dimension finie

On the existence for the Plateau problem in finite dimensional Banach spaces

• Auteur / Autrice : Ioann Vasilyev
• Direction : Thierry De Pauw
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Géométrie et dynamique
• Date : Soutenance le 08/10/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Guy David
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry De Pauw, Guy David, Hervé Pajot, Robert Hardt, Frédéric Hélein, Vincent Millot, Olivier Guédon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hervé Pajot, Robert Hardt

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Banach

Calcul des variations

Mesure géométrique, Théorie de la

Plateau, Problème de

Mots clés libres

Chaînes minimisantes

Mass-minimizing

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'existence de minimiseurs pour le problème de Plateau. On se place dans le cas des espaces de Banach de dimension finie et dans le contexte des G chaînes rectifiables.Nous commençons par améliorer l'un des théorèmes de Busemann, selon lequel chaque hyperplan dans un espace de Banach de dimension finie admet une projection qu'est une contraction pour la mesure d'Hausdorff des sous-ensembles n-1 rectifiables (on les appelle "good projections"). Nous utilisons cette propriété pour montrer que ces projections n’augmentent pas la masse des chaînes rectifiables. On en déduit (en utilisant le théorème de l’approximation forte) la demi-continuité inférieure de la masse sur l’espace des G chaînes rectifiables. Cela nous permet d'établir l'existence mentionnée ci-dessus. En plus, nous avons pu prouver que, dans le cadre du problème énoncé ci-dessus, il y a toujours une solution dont le support soit à l'intérieur de la combinaison convexe du bord.Nous avons également établi une autre démonstration de l’existence des G chaînes minimisantes. Il s'agit du résultat que la mesure d'Hausdorff est égale à la mesure de Gross, et que ces mesures de Gross sont semi-continues inférieures.On applique l'un des théorèmes de Burago et Ivanov pour démontrer l'inégalité triangulaire pour des G cycles polyédriques de dimension deux. Enfin, on l'utilise pour démontrer l’existence des G chaînes rectifiables minimisantes de dimension deux

In this work we study existence of minimisers for the Plateau problem in case of finite dimensional Banach spaces. We work in the context of polyhedral and rectifiable G chains. We start with improving one theorem by Busemann, which states that each hyperplane in a finite dimensional Banach space admits area non-increasing projections (which by the way we call good projections). Namely, we prove that these projections do not increase Hausdorff measure of arbitrary (n - 1) rectifiable subsets. We use this property in order to show that those good projections do not increase the mass (the one relative to th Hausdorff measure) of (n - 1) rectifiable G chains. From here we derive the lower semi-continuity of the mass on the space of rectifiable G chains (via using the strong approximation theorem). This in turn gives us the desired existence result. Furthermore, we were able to prove that in the problem stated above there always exists a solution with the support inside of the convex hull of the boundary data.Along with the “classical" proof discussed above we have also established another proof of the existence of mass-minimizing (n - 1) rectifiable G chains in finite dimensional Banach spaces. Namely, we have proved that for rectifiable subsets of finite dimensional Banach spaces the Hausdorff and the Gross measures coincide. Since those Gross measures are lower semicontinuous, this provides us with an alternative proof of the existence.We apply one theorem of Burago and Ivanov in our proof of the corresponding triangle inequality for the polyhedral 2-cycles. Finally, we show the existence of mass minimizing 2 rectifiable G chains in finite dimensional Banach spaces