Contributions to arithmetic complexity and compression

Titre traduit

Contributions à la complexité arithmétique et à la compression
Résumé

Cette thèse explore deux territoires distincts de l’informatique fondamentale : la complexité et la compression. Plus précisément, dans une première partie, nous étudions la puissance des circuits arithmétiques non commutatifs, qui calculent des polynômes non commutatifs en plusieurs indéterminées. Pour cela, nous introduisons plusieurs modèles de calcul, restreints dans leur manière de calculer les monômes. Ces modèles en généralisent d’autres, plus anciens et largement étudiés, comme les programmes à branchements. Les résultats sont de trois sortes. Premièrement, nous donnons des bornes inférieures sur le nombre d’opérations arithmétiques nécessaires au calcul de certains polynômes tels que le déterminant ou encore le permanent. Deuxièmement, nous concevons des algorithmes déterministes fonctionnant en temps polynomial pour résoudre le problème du test d’identité polynomiale. Enfin, nous construisons un pont entre la théorie des automates et les circuits arithmétiques non commutatifs, ce qui nous permet de dériver de nouvelles bornes inférieures en utilisant une mesure reposant sur le rang de la matrice dite de Hankel, provenant de la théorie des automates. Une deuxième partie concerne l’analyse de l’algorithme de compression sans perte Lempel-Ziv. Pourtant très utilisé, sa stabilité est encore mal établie. Vers la fin des années 90s, Jack Lutz popularise la question suivante, connue sous le nom de « one-bit catastrophe » : « étant donné un mot compressible, est-il possible de le rendre incompressible en ne changeant qu’un seul bit ? ». Nous montrons qu’une telle catastrophe est en effet possible. Plus précisément, en donnant des bornes optimales sur la variation de la taille de la compression, nous montrons qu’un mot « très compressible » restera toujours compressible après modification d’un bit, mais que certains mots « peu compressibles » deviennent en effet incompressibles.

mots clés

Résumé

This thesis explores two territories of computer science: complexity and compression. More precisely, in a first part, we investigate the power of non-commutative arithmetic circuits, which compute multivariate non-commutative polynomials. For that, we introduce various models of computation that are restricted in the way they are allowed to compute monomials. These models generalize previous ones that have been widely studied, such as algebraic branching programs. The results are of three different types. First, we give strong lower bounds on the number of arithmetic operations needed to compute some polynomials such as the determinant or the permanent. Second, we design some deterministic polynomial-time algorithm to solve the white-box polynomial identity problem. Third, we exhibit a link between automata theory and non-commutative arithmetic circuits that allows us to derive some old and new tight lower bounds for some classes of non-commutative circuits, using a measure based on the rank of a so-called Hankel matrix. A second part is concerned with the analysis of the data compression algorithm called Lempel-Ziv. Although this algorithm is widely used in practice, we know little about its stability. Our main result is to show that an infinite word compressible by LZ’78 can become incompressible by adding a single bit in front of it, thus closing a question proposed by Jack Lutz in the late 90s under the name “one-bit catastrophe”. We also give tight bounds on the maximal possible variation between the compression ratio of a finite word and its perturbation—when one bit is added in front of it.

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