Etude mathématique et numérique de quelques modèles multi-échelles issus de la mécanique des matériaux

par Marc Josien

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Claude Le Bris.

Soutenue le 20-11-2018

à Paris Est , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) (laboratoire) et de Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique / CERMICS (laboratoire) .

Le président du jury était Felix Otto.

Le jury était composé de Claude Le Bris, Sonia Fliss, Yves-Patrick Pellegrini.

Les rapporteurs étaient Anne-Laure Dalibard Roux, Gilles Francfort.


  • Résumé

    Le travail de cette thèse a porté sur l'étude mathématique et numérique de quelques modèles multi-échelles issus de la physique des matériaux. La première partie de ce travail est consacrée à l'homogénéisation mathématique d'un problème elliptique avec une petite échelle. Nous étudions le cas particulier d'un matériau présentant une structure périodique avec un défaut. En adaptant la théorie classique d'Avellaneda et Lin pour les milieux périodiques, on démontre qu'on peut approximer finement la solution d'un tel problème, notamment à l'échelle microscopique. Nous obtenons des taux de convergence dépendant de l'étalement du défaut. On démontre aussi quelques propriétés des fonctions de Green d'un problème elliptique périodique avec conditions de bord périodiques. Les dislocations sont des lignes de défaut de la matière responsables du phénomène de plasticité. Les deuxième et troisième parties de ce mémoire portent sur la simulation de dislocations, d'abord en régime stationnaire puis en régime dynamique. Nous utilisons le modèle de Peierls, qui couple échelle atomique et échelle mésoscopique. Dans le cadre stationnaire, on obtient une équation intégrodifférentielle non-linéaire avec un laplacien fractionnaire: l'équation de Weertman. Nous en étudions les propriétés mathématiques et proposons un schéma numérique pour en approximer la solution. Dans le cadre dynamique, on obtient une équation intégrodifférentielle à la fois en temps et en espace. Nous en faisons une brève étude mathématique, et comparons différents algorithmes pour la simuler. Enfin, dans la quatrième partie, nous étudions la limite macroscopique d'une chaîne d'atomes soumis à la loi de Newton. Des arguments formels suggèrent que celle-ci devrait être décrite par une équation des ondes non-linéaires. Or, nous démontrons --sous certaines hypothèses-- qu'il n'en est rien lorsque des chocs apparaissent

  • Titre traduit

    Mathematical and numerical study of some multi-scale models from materials science


  • Résumé

    In this thesis we study mathematically and numerically some multi-scale models from materials science. First, we investigate an homogenization problem for an oscillating elliptic equation. The material under consideration is described by a periodic structure with a defect at the microscopic scale. By adapting Avellaneda and Lin's theory for periodic structures, we prove that the solution of the oscillating equation can be approximated at a fine scale. The rates of convergence depend upon the integrability of the defect. We also study some properties of the Green function of periodic materials with periodic boundary conditions. Dislocations are lines of defects inside materials, which induce plasticity. The second part and the third part of this manuscript are concerned with simulation of dislocations, first in the stationnary regime then in the dynamical regime. We use the Peierls model, which couples atomistic and mesoscopic scales and involves integrodifferential equations. In the stationary regime, dislocations are described by the so-called Weertman equation, which is nonlinear and involves a fractional Laplacian. We study some mathematical properties of this equation and propose a numerical scheme for approximating its solution. In the dynamical regime, dislocations are described by an equation which is integrodifferential in time and space. We compare some numerical methods for recovering its solution. In the last chapter, we investigate the macroscopic limit of a simple chain of atoms governed by the Newton equation. Surprisingly enough, under technical assumptions, we show that it is not described by a nonlinear wave equation when shocks occur


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