Modélisation du mouvement d'une foule via la théorie de la dynamique non régulière des solides

par Aissam Jebrane

Thèse de doctorat en Sciences de l'ingénieur

Sous la direction de Pierre Argoul.

Soutenue le 19-12-2018

à Paris Est en cotutelle avec l'Université Cadi Ayyad (Marrakech, Maroc) , dans le cadre de École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire Navier (Paris-Est) (laboratoire) et de Laboratoire Navier / NAVIER UMR 8205 (laboratoire) .

Le président du jury était Said Raghay.

Le jury était composé de Pierre Argoul, Abdelilah Hakim, Mohammed El Rhabi, Mostafa Abounouh.

Les rapporteurs étaient Laetitia Paoli, Mouhcine Tilioua, El Hassan Essoufi.


  • Résumé

    Ce travail concerne la modélisation du mouvement des piétons via l’approche non régulière du contact dynamique des solides rigides et déformables. Une reformulation de cette approche est proposée en accord avec le formalisme de M.Frémond et celui de J.J.Moreau. L’approche proposée est basée sur la notion de percussion qui est l’intégrale de la force de contact au cours de la durée de la collision. Contrairement aux modèles classiques d’éléments discrets, il est supposé que les percussions ne peuvent être exprimées qu’en fonction de la vitesse avant l’impact. Cette hypothèse est vérifiée pour des lois de comportement classiques de la collision. Les équations de mouvement sont ensuite reformulées en tenant compte de multiples collisions simultanées. L’existence et l’unicité de la solution du nouveau modèle sont discutées en fonction de la régularité des forces (densité de Lebesgue apparaissant au cours de l’évolution régulière du système) et la régularité des percussions (Dirac-densité décrivant la collision). A la lumière des principes de la thermodynamique, une condition sur la percussion interne assurant que la collision est thermodynamiquement admissible, est établi. L’application aux collisions de disques rigides et à l’écoulement dans un sablier en forme d'entonnoir est présentée. L’approche est étendue au mouvement de la foule, en effet ; la circulation des piétons à travers les goulets d’étranglement est étudiée. Une analyse de sensibilité est effectuée pour étudier l’effet des paramètres d’un modèle de mouvement de foule discret 2D sur la nature des collisions et des temps d’évacuation des piétons. Nous avons identifié les paramètres qui régissent une collision de type piéton-piéton et étudié leurs effets sur le temps d'évacuation. Puis une expérience d’évacuation d’une salle avec une sortie de goulot d’étranglement est introduite et sa configuration est utilisée pour les simulations numériques. La question de l’estimation des forces de contact et de la pression générée dans une foule en mouvement est abordée à la fois d’un point de vue discret (un piéton est assimilé à un disque rigide) et continue (la foule est considérée comme un solide déformable). Une comparaison entre le modèle microscopique du second ordre (modèle discret 2D) et l’approche continue est présentée. Les forces de contact sont rigoureusement définies en tenant compte des contacts multiples et simultanés et le non chevauchement entre piétons. Nous montrons que pour une foule dense les percussions (saut de la quantité de mouvement correspondant au contact instantané) deviennent des forces de contact. Pour l’approche continue, la pression est calculée en fonction des contraintes volumiques et surfaciques. Et tenant compte les interactions non locales entre les piétons. Afin de rendre l’approche plus efficace, nous avons modélisé chaque piéton par un solide déformable, le cas unidimensionnel est étudié, une comparaison avec le cas discret est présentée pour un exemple d’écrasement d’une chaîne de piétons dans un obstacle fixe. La solution analytique des équations de contact est développée ce qui permet une calibration de paramètres du modèle et une étude asymptotique des solutions. La théorie non-régulière de la dynamique de solides déformables permet de calculer la vitesse réelle de la foule en tant qu’un milieu continu en tenant compte des interactions avec l’environnement et de la vitesse souhaitée. Une représentation macroscopique donnée par un problème couplé d’équations hyperbolique et elliptique. Une équation hyperbolique décrivant l’évolution de la densité de la foule dont la vitesse est calculée une équation elliptique, celle de l’évolution d’un solide déformable. Un résultat d’existence et unicité est développé concernant l’existence et l’unicité de la solution du problème couplé et la stabilité par rapport à la condition initiale et les conditions aux limites

  • Titre traduit

    Crowd modeling through the theory of non-smooth dynamics of solids


  • Résumé

    This work concerns the modeling of pedestrian movement inspired by the non-smooth dynamics approach for the rigid and deformable solids. Firstly, a reformulation of the non-smooth approaches of M.Frémond and J.J.Moreau for rigid body dynamics is developed. The proposed theory relies on the notion of percussion which is the integral of the contact force during the duration of the collision. Contrary to classical discrete element models, it is here assumed that percussions can be only expressed as a function of the velocity before the impact. This assumption is checked for the usual mechanical constitutive laws for collisions. Motion equations are then reformulated taking into account simultaneous collisions of solids. The existence and uniqueness of the solution of the proposed model are discussed according to the regularity of both the forces (Lebesgue-density occurring during the regular evolution of the system) and the percussions (Dirac-density describing the collision). A condition on the internal percussion assuring that the collision is thermodynamically admissible is established. An application to the collision of rigid disks and the flow in a funnel-shaped hourglass is presented. The approach is extended to crowd motion, indeed; the circulation of pedestrians through the bottlenecks is studied and deals with to optimize evacuation and improve the design of pedestrian facilities. A sensitivity analysis is performed to study the effect of the parameters of a 2D discrete crowd movement model on the nature of pedestrian’s collision and on evacuation times. The question of estimation of contact forces and the pressure generated in a moving crowd is approached both from a discrete and continues point of view. A comparison between the second-order microscopic model (2D discrete model) and the continues approaches is presented. Contact forces are rigorously defined taking into account multiple, simultaneous contact and the non-overlapping condition between pedestrians. We show that for a dense crowd the percussions (moment umjump corresponding to instantaneous contact) become contact forces. For continuous approach, the pressure is calculated according to volume and surface constraints. This approach makes it possible to retain an admissible right-velocity (after impact), including both the non local interactions (at a distance interactions) between non neighbor pedestrians and the choice of displacement strategy of each pedestrian. Finally, two applications are presented : a one-dimensional simulation of an aligned pedestrian chain crashing into an obstacle, and a two-dimensional simulation corresponding to the evacuation of a room. In order to make the approach more efficient, we modeled each pedestrian with a deformable solid, the unidimensional case is studied a comparison with the discreet case is presented that corresponding to a crash of a pedestrian chain in a fixed obstacle is treated. The analytical solution of contact equations is developed for both approaches. This allows to calibrate the model parameters and offers an asymptotic study of the solutions. The non-smooth theory of deformable solids makes it possible to calculate the current velocity of the crowd as a continuous medium taking into account the interactions with the environment and their desired velocity. a macroscopic representation is developed through Hyperbolic – Elliptic Equations. indded;the crowd is described by its density whose evolution is given by a non local balance law. the current velocity involved in the equation is given by the collision equation of a deformable solid with a rigid plane. Firstly, we prove the well posedness of balance laws with a non smooth ux and function source in bounded domains, the existence of a weak entropic solution, it’s uniqueness and stability with respect to the initial datum and of the boundary datum. an application to crowdmodeling is presented

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