Homogénéisation stochastique quantitative

par Alexandre Bordas

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Christophe Mourrat.

Soutenue le 24-09-2018

à Lyon , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec École normale supérieure de Lyon (établissement opérateur d'inscription) et de Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon) (laboratoire) .


  • Résumé

    Cette thèse porte sur l’homogénéisation quantitative d’équations aux dérivées partielles paraboliques, et de problèmes elliptiques discrets. Dans l’introduction, nous voyons comment de tels problèmes, même lorsque les coefficients sont déterministes, résultent d’un modèle aléatoire. Nous donnons ensuite une notion de ce qu’est l’homogénéisation : que se passe-t-il lorsque les coefficients eux-mêmes sont aléatoires, est-il possible de considérer qu’un environnement présentant des inhomogénéités sur de très petites échelles, se comporte d’une manière proche d’un environnement fictif qui serait homogène ?Nous donnons ensuite une interprétation de cette question en terme de marche aléatoire en conductances aléatoires, puis donnons une idée des outils utilisés dans les preuves des deux chapitres suivants. Dans le chapitre II, nous démontrons un résultat d’homogénéisation quantitative pour une équation parabolique – l’équation de la chaleur par exemple – dans un environnement admettant des coefficients aléatoires et dépendant du temps. La méthode utilisée consiste à considérer les solutions d’un tel problème comme optimiseurs de fonctionnelles qui seront définies au préalable, puis d’utiliser la propriété cruciale de sous-additivité de ces quantités, afin d’en déduire une convergence puis un résultat de concentration, qui permettra d’en déduire une vitesse de convergence des solutions vers la solution du problème homogénéisé, Dans le chapitre III, nous adaptons ces méthodes pour un problème elliptique sur le graphe Zd.

  • Titre traduit

    Quantitative stochastic homogenization


  • Résumé

    This thesis deals with quantitative stochastic homogenization of parabolic partial differential equations, and discrete elliptic problems. In the introduction, we see how can such problems come from random models, even when the coefficients are deterministic. Then, we introduce homogenization : what happen if the coefficients themselves are random ? Could we consider that an environment with microscopical random heterogeneities behaves, at big scale, as a fictious deterministic homogeneous environment ? Then, we give a random walk in random environment interpretation and the sketch of the proofs in the two following chapters. In chapter II, we prove a quantitative homogenization result for parabolic PDEs, such as heat equation, in environment admitting time and space dependent coefficients. The method of the proof consists in considering solutions of such problems as minimizers of variational problems. The first step is to express solutions as minimizers, and then to use the capital property of subadditivity of the corresponding quantities, in order to deduce convergence and concentration result. From that, we deduce a rate of convergence of the actual solutions to the homogenized solution. In chapter III, we adapt these methods to a discrete elliptic problem on the lattice Zd.


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