Moments en géométrie algébrique réelle

Moments in real algebraic geometry

• Auteur / Autrice : Michele Ancona
• Direction : Jean-Yves Welschinger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/11/2018
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Ilia Itenberg
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Yves Welschinger, Nalini Anantharaman, Jasmin Raissy, Christophe Sabot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ilia Itenberg, Steven Zelditch

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Bergman, Noyaux de

Riemann, Surfaces de

Mots clés libres

Surfaces de Riemann réelles

Fibrés en droites

Revêtements

Moments

Noyau Bergman

Riemann surfaces

Line bundles

Branched coverings

Moments

Bergman kernel

Résumé

On sait que le nombre de racines réelles d’un polynôme à une variable de degré d et à coefficients réels est compris entre 0 et d. Au début des années 90, E. Kostlan prouve que le nombre moyen de racines vaut racine carrée de d, lorsque ces polynômes sont équipées d’une mesure de probabilité adéquate. Ce résultat possède une interprétation géométrique, où les polynômes apparaissent comme sections au-dessus de la sphère de Riemann, et ils peuvent s’étendre au cadre plus général de sections de fibrés en droites amples sur une surface de Riemann. Il s’agit ici du calcul de l’espérance mathématique du nombre de racines réelles de ces polynômes ou sections. Dans cette thèse, on calcule tous les moments centrés de ces variable aléatoires. Comme application de ce calcul, on prouve que la mesure de l’ensemble des polynômes ou sections dont le nombre de racines s’ écartent de la moyenne est majoré de façon effective en fonction de cet écart, un résultat de type concentration de la mesure en probabilité. Dans une deuxième partie, on présente des résultats analogue dans la théorie de Hurwitz réelle, où plutôt que du nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire, on considère le nombre de points critiques réels d’un revêtement ramifié aléatoire de la sphère de Riemann. On calcul la moyenne et tous les moments centrés du nombre de points critiques réels d'un revêtement aléatoire.Les techniques employées dans la preuve de ces résultats sont de nature analytique (noyau de Bergman, estimées L^2) et géométriques (multi-espaces d'Olver, formule de la coaire)

It is well known that the number of real roots of a real degree d polynomial is at most d. In the 90s, E. Kostlan proved that the average number of real roots equals the square root of d, once we equip the space of polynomials with some natural Gaussian measure. This result has a geometric interpretation, in which the real polynomials are sections of a line bundle over the Riemann sphere. We can extend this study in a more general case of a real Riemann surface equipped with ample line bundle and study the expected value of the number of real zeros of a random section. In this thesis, we compute all the central moments of these random variables. As an application, we prove that the measure of the space of real sections whose number of real zeros deviates from the expected one goes to zeros, as the degree of the line bundle goes to infinity.In a second part, we present analogues results in real Hurwitz theory, in which we study the real critical points of a random branched covering of the Riemann sphere. We compute the expected value of this number and also all the central moments.The techniques we use are of analytique nature (Bergman kernel, L^2 estimates) and gometric one (Olver multispaces, coarea formula)