Percolation dans le plan : dynamiques, pavages aléatoires et lignes nodales

par Hugo Vanneuville

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Christophe, Raymond Garban.

Soutenue le 28-11-2018

à Lyon , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec Université Claude Bernard (Lyon) (établissement opérateur d'inscription) et de ICJ - Institut Camille Jordan (Rhône) (laboratoire) .

Le président du jury était Béatrice de Tilière.

Le jury était composé de Christophe, Raymond Garban, Oriane Blondel, Christophe Sabot, Vincent Tassion, Marie Théret.

Les rapporteurs étaient Hugo Duminil-Copin, Vincent Beffara.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions trois modèles de percolation planaire : la percolation de Bernoulli, la percolation de Voronoi, et la percolation de lignes nodales. La percolation de Bernoulli est souvent considérée comme le modèle le plus simple à définir admettant une transition de phase. La percolation de Voronoi est quant à elle un modèle de percolation de Bernoulli en environnement aléatoire. La percolation de lignes nodales est un modèle de percolation de lignes de niveaux de champs gaussiens lisses. Deux fils conducteurs principaux ont guidé nos travaux. Le premier est la recherche de similarités entre ces modèles, en ayant à l'esprit que l'on s'attend à ce qu'ils admettent tous la même limite d'échelle. Nous montrons par exemple que le niveau critique de la percolation de lignes nodales est égal au niveau auto-dual (à savoir le niveau zéro) lorsque le champ considéré est le champ de Bargmann-Fock, qui est un champ gaussien analytique naturel. Le deuxième fil conducteur est l'étude de dynamiques sur ces modèles. Nous montrons en particulier que, si on considère un modèle de percolation de Voronoi critique et si on laisse les points se déplacer selon des processus de Lévy stables à très longue portée, alors il existe des temps exceptionnels avec une composante non bornée

  • Titre traduit

    Percolation in the plane : dynamics, random tilings and nodal lines


  • Résumé

    We study three models of percolation in the plane: Bernoulli percolation, Voronoi percolation, and nodal lines percolation. Bernoulli percolation is often considered as the simplest model which admits a phase transition. Voronoi percolation is a Bernoulli percolation model in random environment. Nodal lines percolation is a level lines percolation model for smooth planar Gaussian fields. We have followed two main threads. The first one is the resarch of similarities between these models, having in mind that we expect that they admit the same scaling limit. We show for instance that the critical level for nodal lines percolation is the self-dual level (namely the zero level) if the Gaussian field is the Bargmann-Fock field, which is natural analytical field. The second main thread is the study of dynamics on these percolation models. We show in particular that if we sample a critical Voronoi percolation model and if we let each point move according to a long range stable Lévy process, then there exist exceptional times with an unbounded cluster


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