Analysis and Discretization of Time-Domain Impedance Boundary Conditions in Aeroacoustics

par Florian Monteghetti

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées et applications des mathématiques

Sous la direction de Denis Matignon et de Estelle Piot.

  • Titre traduit

    Analyse et discrétisation des conditions aux limites d'impédance dans le domaine temporel pour l'aéroacoustique


  • Résumé

    En aéroacoustique numérique, la condition aux limites d’impédance temporelle (TDIBC) peutêtre utilisée pour modéliser un matériau absorbant acoustique localement réactif. Elle permetde calculer l’effet d’un matériau sur le champ acoustique après une distance d’homogénéisation,ce qui s’avère suffisamment précis pour la prédiction de niveaux sonores. L’objectif général decette thèse est d’étudier les aspects physiques, mathématiques, et numériques des TDIBC, enpartant de la littérature physique.La première partie de cette thèse définit des conditions d’admissibilité pour une TDIBCnon-linéaire dans la formulation impédance, admittance, et scattering. Il est ensuite montréque les modèles physiques linéaires ont des transformées de Laplace irrationnelle et admettentdans le domaine temporel une représentation oscillante-diffusive à retard, dont l’interprétationphysique est donnée. L’analyse permet d’obtenir la TDIBC discrète la mieux adaptée à chaquemodèle physique, par opposition à une approche universelle qui consiste à postuler un modèlediscret a priori, et suggère des manières élémentaires de calculer les pôles et les poids. La formulationtemporelle proposée se réduit à la composition d’un ensemble d’équations différentiellesordinaires avec une équation de transport.La principale contribution de la seconde partie est la preuve de la stabilité asymptotiqued’une équation des ondes multidimensionnelle couplée à diverses classes de TDIBC admissibles,dont la transformée de Laplace est une fonction positive-réelle. La démonstration repose surla formulation d’un problème de Cauchy abstrait sur un espace d’état étendu en utilisant uneréalisation de l’impédance, qui peut être de dimension finie ou infinie. La stabilité asymptotiquedu semi-groupe de contraction correspondant est ensuite obtenue en vérifiant les conditionsspectrales du théorème de Arendt-Batty-Lyubich-V˜u.La troisième et dernière partie de cette thèse s’intéresse à la discrétisation des équationsd’Euler linéarisées avec une TDIBC. Elle démontre l’avantage numérique à utiliser l’opérateurde scattering plutôt que les opérateurs d’impédance et d’admittance, y compris pour les TDIBCnon-linéaires. Cela est effectué par une analyse d’énergie semi-discrète de l’imposition faibled’une TDIBC générique et non-linéaire dans une méthode des éléments finis de type Galerkindiscontinu. En particulier, l’analyse met en évidence que la seule définition d’un modèle discretn’est pas suffisante pour complètement définir une TDIBC. Pour appuyer l’analyse, un modèlephysique non-linéaire élémentaire est obtenu et ses propriétés numériques sont étudiées dans untube à impédance. Ensuite, l’obtention d’une TDIBC retardée large bande depuis les modèlesphysiques de coefficients de réflexion est démontrée pour les liners acoustique à un degré deliberté.Une discrétisation d’ordre élevée de la formulation temporelle proposée, qui consiste à composerun ensemble d’équations différentielles ordinaires avec une équation de transport, estappliquée à l’étude numérique de deux conduits aéroacoustiques.


  • Résumé

    In computational aeroacoustics, time-domain impedance boundary conditions (TDIBCs) canbe employed to model a locally reacting sound absorbing material. They enable to computethe effect of a material on the sound field after a homogenization distance and have proveneffective in noise level predictions. The broad objective of this work is to study the physical,mathematical, and computational aspects of TDIBCs, starting from the physical literature.The first part of this dissertation defines admissibility conditions for nonlinear TDIBCs underthe impedance, admittance, and scattering formulations. It then shows that linear physicalmodels, whose Laplace transforms are irrational, admit in the time domain a time-delayedoscillatory-diffusive representation and gives its physical interpretation. This analysis enablesto derive the discrete TDIBC best suited to a particular physical model, by contrast with a onesize-fits-all approach, and suggests elementary ways of computing the poles and weights. Theproposed time-local formulation consists in composing a set of ordinary differential equationswith a transport equation.The main contribution of the second part is the proof of the asymptotic stability of the multidimensionalwave equation coupled with various classes of admissible TDIBCs, whose Laplacetransforms are positive-real functions. The method of proof consists in formulating an abstractCauchy problem on an extended state space using a realization of the impedance, be it finiteor infinite-dimensional. The asymptotic stability of the corresponding strongly continuoussemigroup of contractions is then obtained by verifying the sufficient spectral conditions of theArendt-Batty-Lyubich-V˜u theorem.The third and last part of the dissertation tackles the discretization of the linearized Eulerequations with TDIBCs. It demonstrates the computational advantage of using the scatteringoperator over the impedance and admittance operators, even for nonlinear TDIBCs. This isachieved by a systematic semi-discrete energy analysis of the weak enforcement of a genericnonlinear TDIBC in a discontinuous Galerkin finite element method. In particular, the analysishighlights that the sole definition of a discrete model is not enough to fully define a TDIBC.To support the analysis, an elementary physical nonlinear scattering operator is derived andits computational properties are investigated in an impedance tube. Then, the derivation oftime-delayed broadband TDIBCs from physical reflection coefficient models is carried out forsingle degree of freedom acoustical liners. A high-order discretization of the derived time-localformulation, which consists in composing a set of ordinary differential equations with a transportequation, is applied to two flow ducts.

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