Height of cycles in toric varieties

par Roberto Gualdi

Thèse de doctorat en Mathématiques Pures

Sous la direction de Alain Yger et de Martin Sombra.

Le président du jury était Charles Favre.

Le jury était composé de Alain Yger, Martin Sombra, Charles Favre, José ignacio Burgos gil, Huayi Chen.

Les rapporteurs étaient José ignacio Burgos gil, Huayi Chen.

  • Titre traduit

    Hauteur de cycles de variétés toriques


  • Résumé

    Nous étudions dans cette thése la relation entre certaines hauteurs d'Arakelov de cycles de variétés toriques et les caractéristiques arithmétiques des polynômes de Laurent qui les définissent. Pour cela, nous associons _a un polynôme de Laurent des fonctions concaves que nous appelons fonctions de Ronkin et fonctions supérieures. Nous donnons des bornes supérieures pour la hauteur d'une intersection compléte faisant intervenir les fonctions supérieures associées. Dans le cas d'une hypersurface, nous montrons une formule liant sa hauteur _a la fonction de Ronkin de son polynôme de Laurent. Nous proposons une égalité analogue pour des hauteurs moyennes appropriées en codimension supérieure et nous indiquons une stratégie pour la preuve d'un cas particulier. Dans ces travaux, nous utilisons des notions de géométrie convexe telles que les polytopes, les mesures de Monge-Ampére réelles et la dualité de Legendre- Fenchel de fonctions concaves. Nous les présentons dans un cadre algébrique adapté et nous développons l'étude des intégrales mixtes.


  • Résumé

    We investigate in this work the relation between suitable Arakelov heights of a cycle in a toric variety and the arithmetic features of its defining Laurent polynomials. To this purpose, we associate to a Laurent polynomial certain concave functions which we call Ronkin functions and upper functions. We give upper bounds for the height of a complete intersection in terms of the associated upper functions. For a hypersurfaces, we prove a formula relating its height to the Ronkin function of the associated Laurent polynomial. We conjecture an analogous equality for a suitable average height in higher codimensions and indicate a strategy for the proof of a particular case. In all the treatment, we deal with convex geometrical objects such as polytopes, real Monge-Ampère measures and Legendre-Fenchel duality of concave functions. We suggest an algebraic framework for such a study and deepen the understanding of mixed integrals.


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