Irreversible parallel dynamics in statistical mechanics

par Riccardo Mariani

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Picco et de Benedetto Scoppola.

Le président du jury était Rossana Marra.

Le jury était composé de Errico Presutti, Francesco Zamponi, Pierre-Yves Louis, Emilio Cirillo, Alexandre Gaudillière.

Les rapporteurs étaient Errico Presutti, Francesco Zamponi.


  • Résumé

    Nous présentons des approches théoriques et numériques pour deux dynamiques irréversibles et parallèles sur des modèles de mécanique statistique. Dans le premier chapitre, nous présentons les résultats théoriques sur un système de particules induite par une chaîne de Markov irréversible, à savoir le TASEP. Permettant des multiples retournements de spin à chaque itération, nous définissons un modèle avec une dynamique parallèle appartenant à la famille des PCA et nous dérivons sa mesure stationnaire. Dans ce cadre, nous traitons le problème du blocage, i.e. comprendre les effets d’une perturbation localisée dans le taux de transition des particules sur des systèmes irréversibles: le problème du blocage. Dans le deuxième chapitre, nous présentons une version unidimensionnelle du modèle d'Ising avec potentiel de Kac. Nous définissons une PCA avec une interaction asymétrique et nous trouvons sa mesure stationnaire avec condition aux limites périodique. Ensuite, nous prouvons la convergence, dans la limite thermodynamique, de cette mesure stationnaire vers la mesure de Gibbs pour toutes les températures supérieures à la température critique via les estimations de Föllmer et le théorème d'unicité de Dobrushin. Dans la seconde partie de la thèse, nous étudions ces deux dynamiques à travers des expériences numériques. Dans le cas du TASEP en exploitant des processeurs graphiques (GPU) et CUDA pour identifier une estimation raisonnable du temps de mélange et renforcer la conjecture qu’à la fois dans la version, la règle de mise à jour série ou parallèle, le courant peut ne pas être analytique dans l’intensité du blocage autour de la valeur ε=0


  • Résumé

    In this thesis we present theoretical and numerical approaches for two irreversible and parallel dynamics on one-dimensional statistical mechanics models. In the first chapter we present theoretical results on a particles system driven by an irreversible Markov chain namely the totally asymmetric simple exclusion process (TASEP). Allowing multiples spin-flips in each time-step we define a model with a parallel dynamics that belongs to the family of the probabilistic cellular automata (PCA) and we derive its stationary measure. In this framework we deal with the blockage problem, i.e. to understand the effects of a localized perturbation in the transition rates of the particles on irreversible systems: the blockage problem. In the second chapter we present a one-dimensional version of the Ising model with Kac potential. Again we define a PCA dynamics with asymmetric interaction between particles and we find its stationary measure for periodic boundary condition. Then we prove the convergence, in the thermodynamic limit, of such stationary measure to the Gibbs measure for all temperatures above the critical one via Föllmer estimates and dobrushin's uniqueness theorem. In the second part of the thesis, we investigate these two dynamics through numerical experiments.In the case of the TASEP we exploit general purpose graphical processors unit (GPGPU) writing a parallel code in CUDA to identify a reasonable mixing time and reinforce the conjecture that in both version, serial or parallel update rule, the current may be non-analytic in the blockage intensity around the value ε=0


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