Un théorème de Gallagher pour la fonction de Möbius

par Mohamed Haye Betah

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Olivier Ramaré et de Mohamed Abdallahi Ould Beddi.

Le président du jury était Ahmedou Haouba.

Le jury était composé de Anne-Gwénaëlle de Roton, Julien Cassaigne, Bruno Martin.

Les rapporteurs étaient Jean-Marc Deshouillers.


  • Résumé

    La fonction de Möbius est définie par μ(n)= { 1{si n=1} \\ (-1)^k{si n est le produit de k nombres premiers distincts} \\ 0{si n contient un facteur carré} }. Nous avons démontré que pour x≥exp(10⁹) et h=x^{1−{1/16000}}, il existe dans chaque intervalle [x-h,x] des entiers n₁ avec μ(n₁)=1 et des entiers n₂ avec μ(n₂)=-1. Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général. Pour x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} et Q=(x/h)^{1/20} nous avons ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); la somme ∑* portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel. Et en particulier pour x≥exp(10⁹),∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.

  • Titre traduit

    A Gallagher theorem for the Moebius function


  • Résumé

    The Möbius function is defined by μ(n)= { 1{if n=1} \\ (-1)^k{if n is a product of k distinct prime numbers} \\ 0{if n contains a square factor} }. We demonstrate that for x≥exp(10⁹) and h=x^{1−{1/16000}}, it exists in each interval [x-h,x] integers n₁ with μ(n₁)=1 and integers n₂ with μ(n₂)=-1. This result is a consequence of a more general result. For x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} and Q=(x/h)^{1/20}, we have ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); the sum ∑* relating to primitive characters except for possible exceptional character. And in particular for x≥exp(10⁹), ∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.

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