Analysis of some nonlocal models in population dynamics

par Julien Brasseur

Thèse de doctorat en Mathématiques

Le président du jury était Henri Berestycki.

Le jury était composé de Serena Dipierro, Liviu Ignat.

Les rapporteurs étaient Massimiliano Morini, Augusto Ponce.

  • Titre traduit

    Analyse de modèles non locaux en dynamique des populations


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée principalement à l’analyse mathématique de modèles nonlocaux issus de la dynamique des populations. En général, l'étude de ces modèles se heurte à de nombreuses difficultés dues à l'absence de compacité et d'effets régularisants. A ce titre, leur analyse requiert de nouveaux outils tant théoriques que qualitatifs. Nous présentons des résultats recouvrant ces deux aspects. Dans une première partie, nous développons une «boîte à outils» destinée à traiter certaines quantités récurrentes dans l'étude de ces modèles. En premier lieu, nous étendons la caractérisation des espaces de Sobolev due à Bourgain, Brezis et Mironescu à des espaces de type Besov. En second lieu, nous étudions la régularité de ces fonctions par restriction sur des hyperplans. Nous montrons que, pour une large classe d'espaces de Besov, une surprenante perte de régularité a lieu. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux propriétés qualitatives des solutions d'équations de réaction-diffusion non-locales. En collaboration avec J.Coville, F.Hamel et E.Valdinoci, nous considérons le cas d'un domaine perforé. Lorsque ce dernier est convexe (ou presque convexe), nous montrons que les solutions sont constantes. Dans un travail conjoint avec J.Coville, nous construisons une famille de contre-exemples lorsque l'obstacle n'est plus convexe. Enfin, dans un travail en collaboration avec S.Dipierro, nous étudions les propriétés qualitatives des solutions de systèmes d'équations elliptiques non-linéaires sous forme variationnelle. Nous y démontrons plusieurs résultats de monotonicité dans un cadre très général qui couvre à la fois le cas des opérateurs locaux et fractionnaires.

    mots clés mots clés

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  • Résumé

    This thesis is mainly devoted to the mathematical analysis of some nonlocal models arising in population dynamics. In general, the study of these models meets with numerous difficulties owing to the lack of compactness and of regularizing effects. In this respect, their analysis requires new tools, both theoretical and qualitative. We present several results in this direction. In the first part, we develop a functional analytic toolbox which allows one to handle some quantities arising in the study of these models. In the first place, we extend the characterization of Sobolev spaces due to Bourgain, Brezis and Mironescu to low regularity function spaces of Besov type. In the second place, we study the regularity of the restrictions of these functions to hyperplanes. We prove that, for a large class of Besov spaces, a surprising loss of regularity occurs. Moreover, we obtain an optimal characterization of the regularity of these restrictions. In the second part, we study qualitative properties of solutions to some nonlocal reaction-diffusion equations set in (possibly) heterogeneous domains. In collaboration with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci, we consider the case of a perforated domain. When the latter is convex (or close to being convex), we prove that the solutions are necessarily constant. In a joint work with J. Coville, we construct a family of counterexamples when the obstacle is no longer convex. Lastly, in a work in collaboration with S. Dipierro, we study qualitative properties of solutions to nonlinear elliptic systems in variational form. We establish various monotonicity results that covers both local and fractional operators.


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