Hyperbolicité et bouts des graphes de Schreier

Hyperbolicity and ends of Schreier graphs

• Auteur / Autrice : Audrey Vonseel
• Direction : Thomas Delzant
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/09/2017
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Cornelia Drutu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charles Frances
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Indira Lara Chatterji, Éric Swenson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Groupes, Théorie géométrique des

Espaces hyperboliques

Mots clés libres

Théorie géométrique des groupes

Groupes hyperboliques

Graphes de Schreier

Bouts relatifs

Construction de Rips

Algorithmes

Condition de Bestvina-Mess

Geometric group theory

Hyperbolic groups

Schreier graphs

Relative ends

Rips construction

Algorithms

Bestvna-Mess condition

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la topologie à l'infini d'espaces généralisant les graphes de Schreier. Plus précisément, on considère le quotient X/H d'un espace métrique géodésique propre hyperbolique X par un groupe quasi-convexe-cocompact H d'isométries de X. On montre que ce quotient est un espace hyperbolique. Le résultat principal de cette thèse indique que le nombre de bouts de l'espace quotient X/H est déterminé par les classes d'équivalence sur une sphère de rayon explicitement calculable. Dans le cadre de la théorie des groupes, on montre que l'on peut construire explicitement des groupes et des sous-groupes pour lesquels il n'existe pas d'algorithme permettant de déterminer le nombre de bouts relatifs. Si le sous-groupe est quasi-convexe, on donne un algorithme permettant de calculer le nombre de bouts relatifs.

This thesis is devoted to the study of the topology at infinity of spaces generalizing Schreier graphs. More precisely, we consider the quotient X/H of a geodesic proper hyperbolic metric space X by a quasiconvex-cocompact group H of isometries of X. We show that this quotient is a hyperbolic space. The main result of the thesis indicates that the number of ends of the quotient space X/H is determined by equivalence classes on a sphere of computable radius. In the context of group theory, we show that one can construct explicitly groups and subgroups for which there are no algorithm to determine the number of relative ends. If the subgroup is quasiconvex, we give an algorithm to compute the number of relative ends.