Optimal transport and diffusion of currents

par Xianglong Duan

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Yann Brenier.

Soutenue le 21-09-2017

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec École polytechnique (Palaiseau, Essonne) (Établissement opérateur d'inscription) et de Centre de mathématiques Laurent Schwartz (Palaiseau, Essonne) (laboratoire) .

Le président du jury était Guillaume Carlier.

Le jury était composé de Yann Brenier, Virginie Ehrlacher, Daniel Han-Kwan, François-Xavier Vialard.

Les rapporteurs étaient Didier Bresch, Athanasios Tzavaras.

  • Titre traduit

    Transport optimal et diffusions de courants


  • Résumé

    Les travaux portent sur l'étude d'équations aux dérivées partielles à la charnière de la physique de la mécanique des milieux continus et de la géométrie différentielle, le point de départ étant le modèle d'électromagnétisme non-linéaire introduit par Max Born et Leopold Infeld en 1934 comme substitut aux traditionnelles équations linéaires de Maxwell. Ces équations sont remarquables par leurs liens avec la géométrie différentielle (surfaces extrémales dans l'espace de Minkowski) et ont connu un regain d'intérêt dans les années 90 en physique des hautes énergies (cordes et D-branes).Le travail se décompose en quatre chapitres.La théorie des systèmes paraboliques dégénérés d'EDP non-linéaires est fort peu développée, faute de pouvoir appliquer les principes de comparaison habituels (principe du maximum), malgré leur omniprésence dans de nombreuses applications (physique, mécanique, imagerie numérique, géométrie...). Dans le premier chapitre, on montre comment de tels systèmes peuvent être parfois dérivés, asymptotiquement, à partir de systèmes non-dissipatifs (typiquement des systèmes hyperboliques non-linéaires), par simple changement de variable en temps non-linéaire dégénéré à l'origine (où sont fixées les données initiales). L'avantage de ce point de vue est de pouvoir transférer certaines techniques hyperboliques vers les équations paraboliques, ce qui semble à première vue surprenant, puisque les équations paraboliques ont la réputation d'être plus facile à traiter (ce qui n'est pas vrai, en réalité, dans le cas de systèmes dégénérés). Le chapitre traite, comme prototype, du curve-shortening flow", qui est le plus simple des mouvements par courbure moyenne en co-dimension supérieure à un. Il est montré comment ce modèle peut être dérivé de la théorie des surfaces de dimension deux d'aire extrémale dans l'espace de Minkowski (correspondant aux cordes relativistes classiques) qui peut se ramener à un système hyperbolique. On obtient, presque automatiquement, l'équivalent parabolique des principes d'entropie relative et d'unicité fort-faible qu'il est, en fait, bien plus simple d'établir et de comprendre dans le cadre hyperbolique.Dans le second chapitre, la même méthode s'applique au système de Born-Infeld proprement dit, ce qui permet d'obtenir, à la limite, un modèle (non répertorié à notre connaissance) de Magnétohydrodynamique (MHD), où on retrouve à la fois une diffusivité non-linéaire dans l'équation d'induction magnétique et une loi de Darcy pour le champ de vitesse. Il est remarquable qu'un système d'apparence aussi lointaine des principes de base de la physique puisse être si directement déduit d'un modèle de physique aussi fondamental et géométrique que celui de Born-Infeld.Dans le troisième chapitre, un lien est établi entre des systèmes paraboliques et le concept de flot gradient de formes différentielles pour des métriques de transport. Dans le cas des formes volumes, ce concept a eu un succès extraordinaire dans le cadre de la théorie du transport optimal, en particulier après le travail fondateur de Felix Otto et de ses collaborateurs. Ce concept n'en est vraiment qu'à ses débuts: dans ce chapitre, on étudie une variante du «curve-shortening flow» étudié dans le premier chapitre, qui présente l'avantage d'être intégrable (en un certain sens) et de conduire à des résultats plus précis.Enfin, dans le quatrième chapitre, on retourne au domaine des EDP hyperboliques en considérant, dans le cas particulier des graphes, les surfaces extrémales de l'espace de Minkowski, de dimension et co-dimension quelconques. On parvient à montrer que les équations peuvent se reformuler sous forme d'un système élargi symétrique du premier ordre (ce qui assure automatiquement le caractère bien posé des équations) d'une structure remarquablement simple (très similaire à l'équation de Burgers) avec non linéarités quadratiques, dont le calcul n'a rien d'évident.


  • Résumé

    Our work concerns about the study of partial differential equations at the hinge of the continuum physics and differential geometry. The starting point is the model of non-linear electromagnetism introduced by Max Born and Leopold Infeld in 1934 as a substitute for the traditional linear Maxwell's equations. These equations are remarkable for their links with differential geometry (extremal surfaces in the Minkowski space) and have regained interest in the 90s in high-energy physics (strings and D-branches).The thesis is composed of four chapters.The theory of nonlinear degenerate parabolic systems of PDEs is not very developed because they can not apply the usual comparison principles (maximum principle), despite their omnipresence in many applications (physics, mechanics, digital imaging, geometry, etc.). In the first chapter, we show how such systems can sometimes be derived, asymptotically, from non-dissipative systems (typically non-linear hyperbolic systems), by simple non-linear change of the time variable degenerate at the origin (where the initial data are set). The advantage of this point of view is that it is possible to transfer some hyperbolic techniques to parabolic equations, which seems at first sight surprising, since parabolic equations have the reputation of being easier to treat (which is not true , in reality, in the case of degenerate systems). The chapter deals with the curve-shortening flow as a prototype, which is the simplest exemple of the mean curvature flows in co-dimension higher than 1. It is shown how this model can be derived from the two-dimensional extremal surface in the Minkowski space (corresponding to the classical relativistic strings), which can be reduced to a hyperbolic system. We obtain, almost automatically, the parabolic version of the relative entropy method and weak-strong uniqueness, which, in fact, is much simpler to establish and understand in the hyperbolic framework.In the second chapter, the same method applies to the Born-Infeld system itself, which makes it possible to obtain, in the limit, a model (not listed to our knowledge) of Magnetohydrodynamics (MHD) where we have non-linear diffusions in the magnetic induction equation and the Darcy's law for the velocity field. It is remarkable that a system of such distant appearance of the basic principles of physics can be so directly derived from a model of physics as fundamental and geometrical as that of Born-Infeld.In the third chapter, a link is established between the parabolic systems and the concept of gradient flow of differential forms with suitable transport metrics. In the case of volume forms, this concept has had an extraordinary success in the field of optimal transport theory, especially after the founding work of Felix Otto and his collaborators. This concept is really only on its beginnings: in this chapter, we study a variant of the curve-shortening flow studied in the first chapter, which has the advantage of being integrable (in a certain sense) and lead to more precise results.Finally, in the fourth chapter, we return to the domain of hyperbolic EDPs considering, in the particular case of graphs, the extremal surfaces of the Minkowski space of any dimension and co-dimension. We can show that the equations can be reformulated in the form of a symmetric first-order enlarged system (which automatically ensures the well-posedness of the equations) of a remarkably simple structure (very similar to the Burgers equation) with quadratic nonlinearities, whose calculation is not obvious.


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