Variétés rationnelles et torseurs sous les groupes linéaires : obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers et invariants cohomologiques supérieurs

Rational varieties and torsors under linear algebraic groups : Brauer-Manin obstruction over the integers and higher cohomological invariants over an arbitrary field

• Auteur / Autrice : Yang Cao
• Direction : David Harari, Jean-Louis Colliot-Thélène
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 06/06/2017
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Kahn
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Harari, Jean-Louis Colliot-Thélène, Bruno Kahn, Emmanuel Peyre, Marc Noel Levine, Qing Liu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mikhail Borovoi, Alexander Merkurjev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des torseurs

Cohomologie galoisienne

Variétés algébriques

Brauer, Groupe de

Mots clés libres

Variété rationnelle

Torseur

Obstruction de Brauer-Manin

Cohomologie non ramifiée

Rational variety

Torsor

Brauer-Manin obstruction

Unramified cohomology

Résumé

Dans cette thèse, on s’intéresse à des propriétés arithmétiques des variétés algébriques. Elle contient deux parties : partie géométrique (sur un corps quelconque) et partie arithmétique (sur un corps de nombres). Dans la partie géométrique, j’étudie le quotient par sa partie constante du troisième groupe de cohomologie non ramifiée des surfaces (géométriquement) rationnelles et de leurs torseurs universels. Pour les surfaces de del Pezzo de degré au moins 5, je montre que ce quotient est trivial, sauf pour des surfaces de del Pezzo de degré 8 d’un type particulier. Pour les torseurs universels ci-dessus, je montre que ce quotient est fini et je donne une condition suffisante pour qu’il soit nul, en termes de la structure galoisienne du groupe de Picard géométrique de la surface. Dans la partie arithmétique, on étudie l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation forte. En collaboration avec C. Demarche et F. Xu, nous établissons l’équivalence de l’obstruction de Brauer-Manin étale et de l’obstruction de descente pour les variétés quasi-projectives. Ensuite, j’établis un théorème très général sur l’approximation forte pour les variétés ouvertes munies d’une action d’un groupe linéaire connexe G et dont un ouvert est un espace homogène de G.

In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts: a geometric part (over an arbitrary field) and an arithmetic part (over a number field). The geometric part is devoted to the study of the quotient by its constant part of the third unramified cohomology group of (geometrically) rational surfaces and of their universal torsors. For del Pezzo surfaces of degree at least 5, we show that this quotient is zero, except in the case of del Pezzo surfaces of degree 8 of a special type. For universal torsors as above, we show this quotient is finite and we give a sufficient condition for it to vanish. This condition involves the Galois structure of the geometrical Picard group. The arithmetic part is devoted to the study of the Brauer-Manin obstruction to strong approximation. In collaboration with C. Demarche and F. Xu, we establish the equivalence of étale Brauer-Manin obstruction and the descent obstruction. Then I establish a general theorem about strong approximation of open varieties equipped with an action of a connected linear algebraic group G and containing a G-homogeneous space as open subset.