Étude mathématique et numérique de problèmes de cloaking et d'un problème inverse géométrique

Mathematical and numerical study of cloaking problems and a geometric inverse problem

• Auteur / Autrice : Maher Belgacem
• Direction : Éric Darrigrand, Saloua Aouadi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 19/12/2017
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : ComuE : Université Bretagne Loire (2016-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes -- Propagation

Problèmes inverses

Mots clés libres

Cloaking

Cape d’invisibilité

Problème quasi-Linéaire

Problème inverse

Écart à la réciprocité

Cloaking

Cloak of invisibility

Quasilinear problem

Inverse problem

Gap to reciprocity

Résumé

Le travail dans cette thèse a consisté à l'étude de la propagation des ondes, en particulier la considération d'un problème de cloaking d'une part et d'un problème inverse d’identification de fissure d'autre part. Nous nous intéressons particulièrement à appliquer une stratégie qui est basé sur un changement de variable pour rendre un objet invisible, la validation numérique des résultats de ce problème a été réalisée par la librairie éléments finies XLiFE++. L'analyse de différents aspects mathématiques du problème de cloaking pour une équation elliptique non linéaire a fait l'objet du chapitre deux. La détermination de l'opérateur Dirichlet-Neumann associé à l'opérateur quasi-linéaire nous a permis d'adapter la technique de transformation utilisé pour le cadre des équations différentielles elliptiques linéaire afin de définir la notion de cloaking pour un problème non linéaire. Pour la dernière partie nous nous sommes intéressés à la reconstruction de fissures pour un problème thermique, pour cela un lien entre l'écart à la réciprocité et la transformée de Fourier du saut de la température à travers la fissure a été établi, ce qui nous a amené à développer un algorithme rapide pour la résolution numérique.

We are concerned with the study of the propagation of waves, in particular the consideration of a cloaking problem on the one hand and of a problem of cracks reconstruction on the second hand. We focus more particularly in applying a strategy that is based on a change of variable to cloak an object. The validation with numerical results has been achieved by the nite element library XLiFE++. The analysis of different mathematical aspects of the cloaking problem for a quasilinear elliptic equation has been the subject of chapter two. The determination of the Dirichlet-Neumann operator associated with the quasilinear operator allowed us to adapt the transformation technique used for the frame-work of linear elliptic differential equations to define the notion of cloaking for our nonlinear problem. For the last part we are interested in crack reconstruction for a thermal problem. For that, a link between the reciprocity gap and the Fourier transform of the temperature jump through the cracks was established, which has led to the development of a fast algorithm for numerical resolution.