Formules de Thomae généralisées à des courbes galoisiennes résolubles sur la droite projective

par Alexandre Le Meur

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de David Lubicz.


  • Résumé

    Les formules de Thomae classiques (1869) permettent de relier au moyen d'une relation algébrique les points branches d'une courbe hyperelliptique avec les thêta constantes de sa jacobienne. Ces formules donnent notamment un moyen de calculer les thêta constantes d'une courbe hyperelliptique connaissant ses points de ramification ou bien, à l'inverse, de retrouver la courbe en connaissant le theta null point de sa jacobienne. Ceci fournit une réalisation effective du théorème de Torelli. Plus récemment, plusieurs auteurs dont Zemel et Farkas ont proposé une généralisation de ces formules pour des courbes cycliques totalement ramifiées sur la droite projective. Nous nous intéressons dans cette thèse à une généralisation de ces formules pour des courbes galoisiennes résolubles de degré n sur la droite projective. La construction de telles formules suit la stratégie décrite par Farkas et Zemel. Cependant, les points non totalement ramifiés ne décrivent pas des points de n-torsion de la Jacobienne de la courbe via l'application d'Abel-Jacobi. Pour remédier à cet obstacle, nous composons T par theta, où T agit comme une moyenne décrite par un sous-groupe du groupe de Galois de la courbe possédant certaines propriétés. Afin de décrire les zéros de translatés de cette application composée, nous écrivons un analogue du théorème de Riemann sur les zéros de theta. Enfin, nous exhibons un exemple d'une courbe définie par un revêtement de degré 2 suivi de deux revêtements de degré 3 dans laquelle on obtient des formules de Thomae généralisées.

  • Titre traduit

    Generalized Thomae Formula for galoisian solvable curves on the projective line


  • Résumé

    The classical Thomae formulae (1869) provide algebraic relations between the branch points of an hyperelliptic curve and the theta constants of its Jacobian. These formula can be seen as a way to calculate these theta constants from the data of the ramification points of the hyperelliptic curve or in the other way around, to find the curve whose Jacobian is given by its theta null point. This can be seen as an effective version of Torelli's theorem. More recently, several authors including Zemel and Farkas have proposed a generalization of these formula for cyclic curves that are totally ramified on the projective line. In this thesis, we are interested in a generalization of these formula for curves of degree n with a solvable Galois group over the projective line. The construction of such formula follows the strategy developed by Farkas and Zemel. However, the points that are not totally ramified don't describe n-torsion points on the Jacobian of the curve via the Abel-Jacobi map. In order to solve this difficulty, we consider the composed map of T by theta, where T is a mean described by a sub-group of the Galois group of the curve with several properties. We write an analogous of the Riemann's theorem in order to describe the zeros of translates of this composed map. Finally, we show an example of a curve defined by a cover of degree 2 followed by two covers of degree 3 for which we can compute generalized Thomae formulae.


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