Solutions variationnelles et solutions de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi

Variational and viscosity solutions of the Hamilton-Jacobi equation

• Auteur / Autrice : Valentine Roos
• Direction : Patrick Bernard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 30/06/2017
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Claude Viterbo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claude Viterbo, Guy Barles, Jean-Claude Sikorav, Marie-Claude Arnaud, Alain Chenciner, Cyril Imbert
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Guy Barles, Jean-Claude Sikorav

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul des variations

Géométrie symplectique

Morse, Théorie de

Solutions de viscosité

Systèmes hamiltoniens

Hamilton-Jacobi, Équations de

Mots clés libres

Équation de Hamilton-Jacobi

Dynamique hamiltonienne non convexe

Solutions de viscosité

Solutions variationnelles

Fronts d'onde

Familles génératrices

Sélecteur minmax

Hamilton-Jacobi equation

Nonconvex Hamiltonian dynamics

Viscosity solutions

Variational solutions

Wavefronts

Generating families

Minmax selector

Résumé

On étudie l'équation de Hamilton-Jacobi évolutive du premier ordre, couplée avec une donnée initiale lipschitzienne. Le but est de comparer les solutions de viscosité et les solutions variationnelles pour cette équation, deux notions de solutions faibles qui coïncident en dynamique hamiltonienne convexe. Pour travailler dans un cadre pertinent pour les deux types de solutions, on doit d’abord construire une solution variationnelle sans hypothèse de compacité sur la variété ou le hamiltonien étudiés. On retrace dans ce cas la construction historique des solutions variationnelles, en détaillant les propriétés de la famille génératrice obtenue par la méthode des géodésiques brisées. Il en découle des estimées permettant d’obtenir la solution de viscosité à partir de la solution variationnelle par un procédé d’itération. Après avoir vérifié que la solution variationnelle construite coïncide effectivement avec la solution de viscosité pour un Hamiltonien convexe, on caractérise les Hamiltoniens intégrables pour lesquels cette propriété persiste, en étudiant attentivement des exemples élémentaires en dimension 1 et 2.

We study the first order Hamilton-Jacobi equation associated with a Lipschitz initial condition. The purpose of this thesis is to compare two notions of weak solutions for this equation, namely the viscosity solution and the variational solution, that are known to coincide in convex Hamiltonian dynamics. In order to work in a relevant framework for both notions, we first need to build a variational solution without compactness assumption on the manifold or the Hamiltonian. To do so, we follow the historical construction, detailing properties of the generating family obtained via the broken geodesics method. Local estimates allow to prove that the viscosity solution can be obtained from the variational solution via an iterative process. We then check that this construction gives effectively the viscosity solution for a convex Hamiltonian, and characterize the integrable Hamiltonians for which this property persists by carefully studying elementary examples in dimension 1 and 2.