Adaptabilité ciblée basée sur des représentations d'erreur non classiques

Goal-Oriented Adaptivity using Unconventional Error Representations

• Auteur / Autrice : Vincent Darrigrand
• Direction : Hélène Barucq, David Pardo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/09/2017
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Universidad del País Vasco. Facultad de ciencias
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Pardo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Helmholtz, Équation d'

Mots clés libres

Adaptabilité ciblée

Éléments finis

Représentation d'erreur

Équation d'Helmholtz

Equation de Convection-Diffusion

Goal-Oriented Adaptivity

Finite Element Methods

Error representation

Helmholtz Equation

Convection-Diffusion Equation

Adaptatividad orientada a un objetivo

Elementos finitos

Representación del error

Ecuación de Helmholtz

Ecuación de convección-difusión

Résumé

Dans un contexte d'adaptabilité ciblée, l'erreur commise sur une quantité d'intérêt peut être représentée grâce aux erreurs globales des problèmes direct et adjoint. Cette représentation de l'erreur est majorée par la somme des indicateurs d'erreurs élémentaires. Ces derniers sont alors utilisés pour produire des raffinements de maillage optimaux. Dans ces travaux, nous proposons de représenter l’erreur du problème adjoint via un opérateur alternatif. L’avantage principal de notre approche est que lorsque l'on choisit correctement l'opérateur alternatif, la majoration correspondante de l'erreur à la quantité d'intérêt devient plus précise, pour autant l'adaptabilité issue de l'utilisation de ces nouveaux indicateurs s'en trouve améliorée. Ces représentations peuvent être employées pour concevoir des algorithmes adaptatifs en espace (h), en ordre d’approximation (p) ou les deux (hp), basés sur la norme d’énergie ou bien ciblés sur une quantité d'intérêt. Bien que la méthode puisse être appliquée à une large gamme de problèmes, nous nous concentrons tout d’abord sur des problèmes unidimensionnels (1D), comme le problème d’Helmholtz et le problème de convection-diffusion stationnaire à convection dominante. Les résultats numériques en 1D montrent que, pour les problèmes de propagation d'ondes, les avantages de notre méthode sont notoires lorsque l'on considère l'opérateur de Laplace pour la représentation de l'erreur. Plus précisément, les majorations issues de la nouvelle représentation sont plus précises que celles provenant de la méthode classique et ce si l'on considère l'énergie globale ou bien une quantité d'intérêt particulière. Le phénomène est d’autant plus notable lorsque l'erreur de dispersion (pollution) est significative. Le problème 1D de convection-diffusion stationnaire à convection dominante avec des conditions limites de Dirichlet homogènes présente une couche limite qui produit une perte de stabilité numérique. La nouvelle représentation d'erreur délivre des majorations plus précises. Lorsqu’appliquée à une p-adaptabilité ciblée, la représentation d'erreur alternative permet une capture plus efficace la couche limite, malgré les oscillations numériques parasites existantes. Devant ces résultats encourageants, nous nous penchons sur l'équation d'Helmholtz à deux et trois dimensions (2D et 3D). Nous montrons, au travers de multiples simulations numériques, que les majorations fournies par les représentations d'erreur alternatives sont plus précises que celle de la représentation classique. Lorsque l'on utilise les indicateurs d'erreur alternatifs, un processus naïf de p-adaptabilité ciblée converge, tandis que dans les mêmes conditions, la méthode classique échoue et requiert l'utilisation d'un opérateur de projection ou d'autre techniques pour récupérer la convergence. Dans ce travail, nous fournissons également des directives pour déterminer les opérateurs qui fournissent des représentations d’erreur induisant de majorations précises. Des résultats similaires sont aussi établis tant pour un problème 2D de convection-diffusion stationnaire à convection dominante que pour des problèmes 2D ayant des coefficients de matériaux discontinus. Nous considérons un problème de diagraphie ultra-sonique en cours de forage pour illustrer l'applicabilité de la méthode proposée.

In Goal-Oriented Adaptivity (GOA), the error in a Quantity of Interest (QoI) is represented using global error functions of the direct and adjoint problems. This error representation is subsequently bounded above by element-wise error indicators that are used to drive optimal refinements. In this work, we propose to replace, in the error representation, the adjoint problem by an alternative operator. The main advantage of the proposed approach is that, when judiciously selecting such alternative operator, the corresponding upper bound of the error representation becomes sharper, leading to a more efficient GOA. These representations can be employed to design novel h, p, and hp energy-norm and goal-oriented adaptive algorithms. While the method can be applied to a variety of problems, in this Dissertation we first focus on one-dimensional (1D) problems, including Helmholtz and steady state convection-dominated diffusion problems. Numerical results in 1D show that for the Helmholtz problem, it is advantageous to select the Laplace operator for the alternative error representation. Specifically, the upper bounds of the new error representation are sharper than the classical ones used in both energy-norm and goal-oriented adaptive methods, especially when the dispersion (pollution) error is significant. The 1D steady state convection-dominated diffusion problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions exhibits a boundary layer that produces a loss of numerical stability. The new error representation based on the Laplace operator delivers sharper error upper bounds. When applied to a p-GOA, the alternative error representation captures earlier the boundary layer, despite the existing spurious numerical oscillations. We then focus on the two- and three-dimensional (2D and 3D) Helmholtz equation. We show via extensive numerical experimentation that the upper bounds provided by the alternative error representations are sharper than the classical ones. When using the alternative error indicators, a naive p-adaptive process converges, whereas under the same conditions, the classical method fails and requires the use of the so-called Projection Based Interpolation (PBI) operator or some other technique to regain convergence. We also provide guidelines for finding operators delivering sharp error representation upper bounds.

En un contexto de adaptatividad orientada a un objetivo, el error en una cantidad de interés está representado a través de los errores globales de los problemas directo y adjunto. Esta representación del error se acota superiormente por una suma de indicadores de error de cada elemento. Estos se utilizan para producir refinamientos óptimos. En este trabajo, proponemos representar el error del problema adjunto utilizando un operador alternativo. La principal ventaja de nuestro enfoque es que cuando se elige correctamente dicho operador alternativo, la correspondiente cota superior se vuelve más cercana al error en la cantidad de interés, lo que permite una adaptatividad más eficiente. Estas representaciones pueden ser utilizadas para diseñar algoritmos adaptativos en h, p o hp, basados en la norma de la energía o para aproximar una cantidad de interés específica. Aunque el método propuesto se puede aplicar a una amplia gama de problemas, en esta tesis doctoral nos centramos primero en problemas unidimensionales (1D), tales como el problema de Helmholtz y el problema estacionario de convección-difusión con convección dominante. Los resultados numéricos en 1D muestran que, para los problemas de propagación de ondas, las ventajas de este método son notorias cuando se considera el operador de Laplace para la representación del error. Específicamente, las cotas superiores derivadas de la nueva representación son más cercanas a la cantidad de interés que las del método convencional. Esto es cierto tanto para la norma de la energía global como para una cantidad de interés particular, especialmente cuando el error de dispersión es significativo. El problema estacionario 1D de convección-difusión con convección dominante y con condiciones de Dirichlet homogéneas tiene una capa límite que produce una pérdida de estabilidad numérica. La nueva representación del error proporciona cotas superiores más cercanas a la cantidad de interés. Cuando se aplica a un algoritmo adaptativo en p orientado a un objetivo, la representación alternativa del error captura antes la capa límite, a pesar de las existentes oscilaciones numéricas no físicas. En esta tesis doctoral, también nos centramos en la ecuación de Helmholtz en dos y tres dimensiones (2D y 3D). Mostramos a través de múltiples experimentos numéricos que las cotas superiores proporcionadas por las representaciones alternativas del error son más cercanas a la cantidad de interés que cuando uno considera la representación clásica. Al utilizar los indicadores alternativos del error, un algoritmo adaptativo en p sencillo converge, mientras que en las mismas condiciones, el método convencional falla y requiere el uso de operadores de proyección o de otras técnicas para recuperar la convergencia. En este trabajo, también determinamos operadores que proporcionan representaciones del error que inducen cotas superiores más ajustadas. Establecemos resultados similares tanto para el problema estacionario de convección-difusión con convección dominante en 2D como para problemas 2D con materiales discontinuos. Finalmente, se considera un problema sónico en pozos petrolíferos para ilustrar la aplicabilidad del método propuesto.