Combinatoire analytique en plusieurs variables : asymptotique efficace et énumération de chemin de treillis

Analytic Combinatorics in Several Variables : Effective Asymptotics and Lattice Path Enumeration

• Auteur / Autrice : Stephen Melczer
• Direction : Bruno Salvy, George Labahn
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 13/06/2017
• Etablissement(s) : Lyon en cotutelle avec University of Waterloo (Canada)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (Lyon ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon ; 1988-....) - Arithmetic and Computing
• Jury : Président / Présidente : Jason P. Bell
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Salvy, George Labahn, Jason P. Bell, Sylvie Corteel, Michael Drmota, Eric Schost
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sylvie Corteel, Ira Gessel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul formel

Analyse combinatoire énumérative

Mots clés libres

Combinatoire analytique

Combinatoire énumérative

Analyse de singularités

Calcul formel

Marche

Diagonale

Systèmes polynomiaux

Analytic Combinatories

Enumerative Combinatories

Singularity Analysis

Computer Algebra

Lattice Paths

Rational Diagonals

Polynomial Systems

Résumé

La combinatoire analytique étudie le comportement asymptotique des suites à travers les propriétés analytiques de leurs fonctions génératrices. Ce domaine a conduit au développement d’outils profonds et puissants avec de nombreuses applications. Au delà de la théorie univariée désormais classique, des travaux récents en combinatoire analytique en plusieurs variables (ACSV) ont montré comment calculer le comportement asymptotique d’une grande classe de fonctions différentiellement finies:les diagonales de fractions rationnelles. Cette thèse examine les méthodes de l’ACSV du point de vue du calcul formel, développe des algorithmes rigoureux et donne les premiers résultats de complexité dans ce domaine sous des hypothèses très faibles. En outre, cette thèse donne plusieurs nouvelles applications de l’ACSV à l’énumération des marches sur des réseaux restreintes à certaines régions: elle apporte la preuve de plusieurs conjectures ouvertes sur les comportements asymptotiques de telles marches,et une étude détaillée de modèles de marche sur des réseaux avec des étapes pondérées.

The field of analytic combinatorics, which studies the asymptotic behaviour ofsequences through analytic properties of their generating functions, has led to thedevelopment of deep and powerful tools with applications across mathematics and thenatural sciences. In addition to the now classical univariate theory, recent work in thestudy of analytic combinatorics in several variables (ACSV) has shown how to deriveasymptotics for the coefficients of certain D-finite functions represented by diagonals ofmultivariate rational functions. This thesis examines the methods of ACSV from acomputer algebra viewpoint, developing rigorous algorithms and giving the firstcomplexity results in this area under conditions which are broadly satisfied.Furthermore, this thesis gives several new applications of ACSV to the enumeration oflattice walks restricted to certain regions. In addition to proving several openconjectures on the asymptotics of such walks, a detailed study of lattice walk modelswith weighted steps is undertaken.