Propriétés spectrales des opérateurs de composition et opérateurs de Hankel

Spectral properties of the composition operators and Hankel operators

• Auteur / Autrice : Lobna Merghni
• Direction : El Hassan Youssfi, Karim Kellay
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 31/01/2017
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Luminy (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Alexander Borichev
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nizar Demni, Alfonso Montes-Rodriguez, Catalin Badea
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Juliette Leblond

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Dirichlet

Hardy, Espaces de

Opérateurs de composition

Hankel, Opérateurs de

Mots clés libres

Opérateurs de composition

Fonction de comptage généralisée de Nevanlinna

Fonctions Polyanalytiques

Opérateurs de Hankel

Points de contact

Classe de Schatten

Espace de Dirichlet

Opérateurs de composition de Hilbert-Schmidt.

Composition operators

Generalized Nevanlinna counting function

Polyanalytic functions

Hankel operators

Contact points

Schatten class

Dirichlet space

Hilbert-Schmidt composition operators

Résumé

Dans cette thèse nous nous intéressons aux opérateurs de composition sur les espaces de Hardy et Dirichlet et aux opérateurs de Hankel sur les espaces des fonction polyanalytiques. On s’'intéresse à l’'opérateur de composition sur les espaces de Dirichlet : D_{α}={f∈Hol(D) :‖f‖²_{α}=|f(0)|²+∫_{D}|f′(z)|²dA_{α}(z)≺ ∞}. La fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée à l'espace de Dirichlet D_{α} est donnée par N_{φ,α}(z)=∑_{z=φ(w),w∈D}(1−|w|)^{α}, z∈D\{φ(0)}. Nous étudions dans la première partie de ce travail la relation entre la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée à φ et la norme de ses puissances sur les espaces de Dirichlet. Nous aussi des examples d’opérateurs de composition de Hilbert-Schmidt sur les espaces de Dirichlet. Nous étudions aussi l'appartenance de Cᵩ à la classe de Schatten en termes de la taille de l’ensemble de niveau et la norme de φⁿ. Dans la deuxième partie nous considérons l’'espace de Fock-Bargmann des fonctions polyanalytiques, f∈Fⁿ(ℂ). Nous montrons que si f(z)=z^{k}̄z{l} avec k, l, ∈, N, alors l’opérateur de Hankel H_{f} est borné sur Fⁿ(ℂ) si et seulement si sup_{m,j}‖H_{f}e_{j,m‖Fⁿ(ℂ)}≺+∞.On montre aussi que si f une fonction entière sur ℂ, alors l’opérateur de Hankel H_{̄f} est borné sur Fⁿ(ℂ) si et seulement si f est un polynôme de degré au plus 1, et l’opérateur de Hankel H_{̄f} est compact sur Fⁿ(ℂ) si et seulement si f est un polynôme constant.

In this thesis we focus on the composition operators on Hardy and Dirichlet spaces and Hankel operators on spaces of polyanalytiques functions. We are interested in the composition operator on the Dirichlet spaces: D_{α}={f∈Hol(D) :‖f‖²_{α}=|f(0)|²+∫_{D}|f′(z)|²dA_{α}(z)≺ ∞}. The generalized Nevanlinna counting function associated to D_{α}, is given by: N_{φ,α}(z)=∑_{z=φ(w),w∈D}(1−|w|)^{α}, z∈D\{φ(0)}. We study in the first part of this work the relationship between the generalized Nevanlinna counting function associated with φ and the norms of its iterated in the Dirichlet spaces. We give examples of Hilbert-Schmidt composition operators on the Dirichlet spaces. We study the composition operators on the Dirichlet spaces belong to Schatten class and the link with the size of contact points of its symbol with the unit circle. In the second part we consider the Bargmann-Fock space of polyanalytic functions, f∈Fⁿ(ℂ). We prove that if f(z)=z^{k}̄z{l} with k, l, ∈, N, then the Hankel operator H_{f} is bounded on Fⁿ(ℂ) if and only if sup_{m,j}‖H_{f}e_{j,m‖Fⁿ(ℂ)}≺+∞. We also establish that if f an entire function on ℂ, then the Hankel operator H_{̄f} is bounded on Fⁿ(ℂ) if and only if f is a polynomial of degree at most 1 and the Hankel operator H_{̄f} is compact on Fⁿ(ℂ) if and only if f is a constant polynomial.