Autour de quelques chaines de Markov combinatoires

Some results concerning Markov chains on combinatorials objects

• Auteur / Autrice : Francois Nunzi
• Direction : Sylvie Corteel, Jérémie Bouttier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Combinatoire
• Date : Soutenance le 12/12/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Chassaing
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérémie Bouttier, Frédérique Bassino, Vlady Ravelomanana, Andrea Sportiello
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mark Dukes, Jean-François Marckert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités combinatoires

Mathématiques

Jonglerie

Markov, Processus de

Mots clés libres

Tas de sable stochastique

Chaînes de Markov combinatoires

Stochastic sandpile

Combinatoric Markov chains

Résumé

On s'intéresse à deux classes de chaînes de Markov combinatoires. On commence avec les chaînes de Markov de Jonglage, inspirées du modèle de jonglage introduit par Warrington, pour lesquelles on définit des généralisations multivariées des modèles existants. On en calcule les mesures stationnaires et les facteurs de normalisation que l'on exprime par des formules explicites. On s'intéresse également au cas limite où la hauteur maximale à laquelle le jongleur peut lancer ses balles tend vers l'infini. On propose alors une reformulation de la chaîne de Markov en termes de partitions d'entiers, ce qui permet aussi de définir un modèle où le jongleur manipule une infinité de balles. Les preuves sont obtenues en utilisant une chaîne enrichie sur les partitions d'ensembles. On exhibe également, pour l'un des modèles, une propriété de convergence ultrarapide : la mesure stationnaire y est atteinte en un nombre fini d'étapes. Dans le Chapitre suivant, on s'intéresse à des généralisations multivariées de ces modèles : on considère cette fois un jongleur manipulant des balles de différents poids, et lorsqu'une balle entre en collision avec une balle plus légère, cette dernière est éjectée vers le haut, pouvant à son tour en heurter une autre plus légère, jusqu'à ce qu'une balle atteigne l'emplacement le plus élevé. On donnera ici encore une formule explicite pour les mesures stationnaires et les facteurs de normalisation. Dans le dernier Chapitre, on s'intéresse cette fois au modèle du tas de sable stochastique, pour lequel on démontre une conjecture posée par Selig, selon laquelle la mesure stationnaire ne dépend pas de la loi d'ajout des grains de sable.

We consider two types of combinatoric Markov chains. We start with Juggling Markov chains, inspired from Warrington's model. We define multivariate generalizations of the existing models, for which we give stationary mesures and normalization factors with closed-form expressions. We also investigate the case where the maximum height at which the juggler may send balls tends to infinity. We then reformulate the Markov chain in terms of integer partitions, which allows us to consider the case where the juggler interacts with infinitely many balls. Our proofs are obtained through an enriched Markov chain on set partitions. We also show that one of the models has the ultrafast convergence property : the stationary mesure is reached after a finite number of steps. In the following Chapter, we consider multivariate generalizations of those models : the juggler now juggles with balls of different weights, and when a heavy ball collides with a lighter one, this light ball is bumped to a higher position, where it might collide with a lighter one, until a ball reaches the highest position. We give closed-form expressions for the stationary mesures and the normalization factors. The last Chapter is dedicated to the stochastic sandpile model, for which we give a proof for a conjecture set by Selig : the stationary mesure does not depend on the law governing sand grains additions.