Théorie des modèles des groupes abéliens valués

Model theory of Abelian valued groups

• Auteur / Autrice : Francois Guignot
• Direction : Françoise Delon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Logique mathématique
• Date : Soutenance le 09/11/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Françoise Point
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frank-Olaf Wagner
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tuna Altinel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Valuations, Théorie des

Chaînes

Corps valués

Élimination des quantificateurs

Théorie des modèles

Groupes abéliens

Mots clés libres

Axiomatisation

NIP

Groupes abéliens valués

Axiomatization

NIP

Résumé

Cette thèse est consacrée à la théorie des modèles des groupes abéliens valués. Nousdonnons à la fin du premier chapitre un exemple assez simple montrant qu’au contrairedes groupes abéliens ordonnés, les groupes abéliens valués ne sont pas tous dépendants(NIP). La question de la propriété d’indépendance est d’ailleurs au coeur du manuscrit.Nous travaillons dans un langage à deux sortes constitué de symboles pour : la loi de groupe,le symétrique et l’élément neutre (sorte du groupe), l’ordre sur la chaîne et l’infini (sortede la chaîne de valuation) et enfin la valuation elle-même. La première partie (chapitres 2,3 et 4) traite le cas du groupe additif Z des entiers relatifs muni d’une valuation p-adique(avec p premier) et de la théorie commune à ces structures. Dans chaque cas, on obtientune axiomatisation et une élimination des quanteurs dans un langage un peu enrichi, lecaractère NIP est démontré et une étude succincte des types définissables est proposée.La deuxième partie commence par le seul chapitre généraliste du texte, où l’on adapte lapp-élimination des quantificateurs dans les modules au cadre des groupes abéliens valués.Le chapitre 6 s’intéresse aux groupes valués à chaîne finie construits sur Z : on y axiomatiseleur théorie commune et les complétions de celle-ci, pour lesquelles on donne également uneélimination des quanteurs. Enfin, le chapitre 7 s’appuie sur les résultats des chapitres 5 et 6pour fournir une élimination des quantificateurs dans le cas d’un groupe valué quelconqueconstruit sur Z et pour en déduire le caractère NIP.

The purpose of this thesis is to study model theory of abelian valued groups. At theend of the first chapter, a basic example is given, showing that, in sharp contrast to orderedabelian groups, abelian valued groups may not be dependent (NIP). The topic of IndependenceProperty is focused on throughout the manuscript. The language used is two-sortedand contains symbols for : the group operation, the inverse and the identity element (sortof the group), the order on the chain and the infinity (sort of the value chain) and finallythe valuation itself. The first part (chapters 2, 3 and 4) deals with the case of the additivegroup Z of integers endowed with a p-adic valuation (with p a prime number) and withthe common theory to these structures. In each case, an axiomatization and a quantifierelimination in a language a bit larger are obtained, the lack of the Independence Propertyis proven and a short study of definable types is propounded. The second part begins withthe only general chapter of the work, where the pp-elimination of quantifiers for modules isadapted to the framework of valued abelian groups. The chapter 6 aims at studying valuedgroups with finite chains, with Z as the underlying group : their common theory and itscompletions, for which a quantifier elimination result is also given, are axiomatized. Finally,the chapter 7, based upon the results of chapters 5 and 6, gives a quantifier eliminationfor any valued group having Z as the underlying group and deduces from this the fact thatthese valued groups are NIP.