Logique du premier ordre, relations d'entiers et automates dans une base fixe

• Auteur / Autrice : Arthur Milchior
• Direction : Alexis Bès, Olivier Carton
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019) - Université Sorbonne Paris Cité (2015-2019)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Choffrut, Arnaud Durand, Serge Grigorieff
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérôme Leroux, Christian Michaux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des automates mathématiques

Logique du premier ordre

Mots clés libres

Ensemble régulier

Résumé

Ce manuscrit traite de la logique du premier ordre avec la relation d'ordre et les prédicats modulaires, notée FO[<,mod]. La classe des ensembles réguliers, c'est à dire des ensembles FO[<,mod]-définissables, est la classe des ensembles acceptés par un automate en base 1. C'est aussi la plus grande classe C d'ensembles telle que FO[C] ne définisse que des langages réguliers. Il est donc naturel de s'intéresser à cette logique et nous donnons dans ce manuscrit de nouvelles caractérisations des ensembles réguliers. Nous montrons que les ensembles réguliers ont une caractérisation en terme d'ensembles de dimension inférieure et en terme de périodicité. Nous montrons que si un ensemble R est définissable dans l'arithmétique de Presburger, alors il est régulier si et seulement si toutes les fonctions Linaires FO[<,R]-définissable sont réguliers. Cette caractérisation nous sert à montrer que le fragment maximal C de l'arithmétique de Presburger tel que la satisfiabilité de FO[<,C] soit décidable est la classe des ensembles réguliers. Similairement, la satisfiabilité de la logique du premier ordre sur les mots avec la fonction successeur et une fonction unaire f croissante est indécidable dès que n-f(n) est non borné. Si f est non interprété, la logique du premier ordre avec la fonction successeur et f est indécidable sur les entiers. Enfin, on donne un algorithme en temps linéaire prenant en entrée un automate A en base b supérieur à 1 et acceptant si et seulement si A accepte un ensemble régulier. Un deuxième algorithme, en temps quasi-cubique, retourne alors une FO[<,mod]-formule qui définit l'ensemble d'entiers accepté par l'automate.

This manuscript deals with first order logic with order relation and modular predicate, denoted by FO[<,mod]. The, class of regular set, that is of of FO[<,mod]-definable sets, is the class of sets accepted by a base 1 automaton. Lt is also the greatest class C of set such that FO[C] only defines regular languages. It is therefore natural to consider this logic, and we give in this manuscript some new characterization of regular sets. We show that the class of regular sets adroits a characterization in terms of set of smaller dimension and in tenn of periodicity. We show that a set, definable in Presburger, is regular if and only if all unary function which are FO[<,R]-definable are regulars. This characterization allows to prove that the maximal fragment C of Presburger arithmetic such that the satisfiability of FO[<,C] is decidable is the class of regular sets. Similarly, the satisfiability of first-order logic over words with the successor function and an unary increasing function f is undecidable as soon as n-f(n) is unbounded. Lf f is uninterpreted, the first-order logic with the successor function and f is undecidable over integers. Finally, a linear time angolithm is given, which takes as input a automaton A in base b greater than 1 and accepts if and only if A accepts a regular set. A second algorithm, in quasi-cubi trame, returns a FO[<,mod]-formula which defines the set of integers accepted by the automaton A.