Thèse soutenue

Algorithmes rapides pour le calcul symbolique de certaines intégrales de contour à paramètre

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Auteur / Autrice : Louis Dumont
Direction : Bruno SalvyAlin Bostan
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et informatique
Date : Soutenance le 05/12/2016
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Saclay, Ile-de-France) - Inria Saclay - Ile de France
établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
Jury : Président / Présidente : Jacques-Arthur Weil
Examinateurs / Examinatrices : Bruno Salvy, Alin Bostan, Delphine Boucher, Paola Boito, Joris van der Hoeven
Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Chèze, Evelyne Hubert

Résumé

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Cette thèse traite de problèmes d'intégration symbolique en calcul formel. L'objectif principal est de mettre au point des algorithmes permettant de calculer rapidement des fonctions qui sont présentées sous la forme d'intégrales de contour dépendant d'un paramètre.On commence par aborder le problème du calcul de l'intégrale d'une fraction rationnelle bivariée par rapport à l'une de ses variables. Le résultat est alors une fonction algébrique qui s'exprime comme une somme de résidus de l'intégrande. On met au point deux algorithmes qui calculent efficacement un polynôme annulateur pour chacun des résidus, et ensuite pour la somme, ce qui donne accès à un polynôme annulateur pour l'intégrale elle-même.Ces algorithmes s'appliquent presque directement au calcul d'un polynôme annulateur pour la diagonale d'une fraction rationnelle bivariée, c'est-à-dire la série univariée obtenue à partir du développement en série d'une fraction rationnelle bivariée en ne gardant que les coefficients diagonaux. En effet, ces diagonales peuvent s'écrire comme des intégrales de fractions rationnelles. Dans une autre application, on donne un nouvel algorithme pour le développement des séries génératrices de plusieurs familles de marches unidimensionnelles sur les entiers. Il repose sur une analyse fine des tailles des équations algébriques et différentielles satisfaites par ces séries.Dans un second temps, on s'intéresse au calcul de l'intégrale d'un terme mixte hypergéométrique et hyperexponentiel. Cette fois-ci le résultat est une suite polynomialement récursive. On élabore une méthode pour mettre sous forme normale les divers décalages d'un terme donné. Ceci permet d'appliquer la méthode du télescopage créatif par réductions pour calculer efficacement une récurrence à coefficients polynomiaux satisfaite par l'intégrale.