Homogénéisation stochastique de quelques problèmes de propagations d'interfaces

Stochastic homogenization of some front propagation problems

• Auteur / Autrice : Ahmed Hajej
• Direction : Pierre Cardaliaguet, Nicolas Forcadel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/07/2016
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Yves Achdou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves Achdou, Olivier Ley, Andrea Davini, Bruno Bouchard-Denize, Adina Ciomaga
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olivier Ley, Andrea Davini

Mots clés

Mots clés contrôlés

Solutions de viscosité

Mots clés libres

Homogénéisation stochastique

Equations de Hamilton-Jacobi

Propagations de fronts

Contrôle optimal

Problème métrique

Approximation numérique

Stochastic homogenization

Hamilton-Jacobi equations

Front propagation

Optimal control

Metric problem

Numerical approximation

Viscosity solutions

Résumé

Dans ce travail, on étudie l'homogénéisation de quelques problèmes de propagations de fronts dans des milieux stationnaires et ergodiques. Dans la première partie, on étudie l'homogénéisation stochastique de quelques problèmes de propagations de fronts non-locaux. En particulier, on donne une version non-locale de la méthode de la fonction test perturbée d'Evans. La deuxième partie est consacrée à l'approximation numérique du Hamiltonien effectif qui découle de l'homogénéisation stochastique des équations de Hamilton-Jacobi. On établit des estimations d'erreurs entre les solutions numériques et l'Hamiltonien effectif. Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'homogénéisation stochastique de problèmes de propagations de fronts qui évoluent dans la direction normale avec une vitesse qui peut être non bornée. On montre des résultats d'homogénéisation dans le cas des milieux i.i.d.

In this work, we study the homogenization of some front propagation problems in stationary ergodic media. In the first part, we study the stochastic homogenization of non-local front propagation problems. In particular, we give a non-local variation of the perturbed test function method of Evans. The second part is devoted to numerical approximations of the effective Hamiltonian arising in stochastic homogenization of Hamilton-Jacobi equations. We establish error estimates between numerical solutions and the effective Hamiltonian. In the third part, we are interested in the stochastic homogenization of front propagation problems moving in the normal direction with possible unbounded velocity. Assuming that the media satisfies a finite range of dependence condition, we prove homogenization results.