L'enseignement de l'algèbre linéaire au niveau universitaire : Analyse didactique et épistémologique

Teaching linear algebra at university level : Didactical and epistemological analysis

• Auteur / Autrice : Marc Lalaude-Labayle
• Direction : Laurent Lévi, Isabelle Bloch, Patrick Gibel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 03/11/2016
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et de leurs applications (Pau)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre linéaire

Enseignement supérieur

Sémiotique

Mots clés libres

Sémiotique

TSD

Algèbre linéaire

Transition

Enseignement supérieur

Semiotics

TDS

Linear algebra

Transition

Tertiary level

Résumé

Notre recherche porte sur la question de l'enseignement de l'algèbre linéaire au niveau universitaire, plus précisément sur les applications linéaires en Classes Préparatoires aux Grandes Écoles. La théorie des situations didactiques avec la sémiotique de Peirce fournissent le cadre principal de nos travaux et nous permettent d'analyser les raisonnements produits par les étudiants en situation d'interrogation orale. Nous proposons dans un premier temps des éléments d'analyse épistémologique concernant le rôle des applications linéaires dans l'émergence de l'algèbre linéaire. Puis nous présentons dans une optique d'analyse didactique les principaux éléments de la sémiotique de Peirce et son algébrisation par le treillis des classes de signes. Nous complétons alors le modèle d'analyse des raisonnements de Bloch et Gibel et proposons un outil d'analyse sémiotique, le diagramme sémantique. Nous utilisons cet outil pour une analyse sémiotique locale a priori d'une situation mathématique. Cette analyse met en évidence le lien entre les premiers signes et premières actions de la situation et la sémiose qui en découle. Nous procédons ensuite à une analyse des raisonnements produits par des étudiants en situation d'interrogation orale, dite « classique ». Cette analyse confirme le lien entre l'absence de niveaux de milieu adidactiques et la difficulté sémantique d'organiser les objets en situation de preuve. Puis, nous expérimentons une situation d'interrogation orale de telle sorte que les niveaux de milieu adidactiques soient riches et stabilisés. L'analyse des raisonnements produits dans cette situation nous permet de montrer que les étudiants sollicitent un point de vue sémantique sur les objets utile lors de leurs validations et contrôles. Ces trois moments de notre travail confirment l'importance du discours et des pratiques heuristiques dans le cadre de l'algèbre linéaire.

Our research is concerned with the teaching of linear algebra at the university level. More precisely, it focuses on the teaching of linear transformations in Classes Préparatoires aux Grandes Écoles. The theory of didactical situations, jointly with Peirce’s semiotics, constitute the main theoretical framework of our works and allow us to analyse student’s reasoning in situations of oral evaluation. Firstly, we put forward some epistemological aspects highlighting the links between linear transformations and the emergence of linear algebra. Then, with a didactical objective, we outline the main features of Perice’s semiotics and its algebraization with the treillis of sign’s categories. Hence, we can enhance the model of analysis for reasoning processes of Bloch and Gibel and build a tool for semiotic analysis called semantic diagram. We illustrate the use of this tool by conducting a local semiotic a priori analysis of a mathematical situation. This analysis highlight the link between the first signs and actions of the situation and the resulting semiosis. Next, we analyse some students’ reasonings produced during oral evaluations said « classical ». This analysis confirms the link between the lack of an adidactical milieu and the semantic difficulty to organize and articulate the objects and signs in a proof situation. Then we experiment a situation of oral evaluation in which the adidactical milieus are rich enough and stabilized. The analysis of the reasoning process conducted in this experimental situation allows us to show that, in this case, the students rely on a semantic point of view on the objects to produce their validations and controls their productions. These three different moments of our research attest the importance of the heuristic practices and discourse in the field of linear algebra.