Comportement microscopique de particules en interaction : gaz de Coulomb, Riesz et log-gases

Microscopic behavior of interacting particles : Coulomb, Riesz and log-gases

• Auteur / Autrice : Thomas Leblé
• Direction : Sylvia Serfaty
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/02/2016
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alice Guionnet, Satya N. Majumdar, Sandrine Péché, Laure Saint-Raymond, Etienne Sandier, Ofer Zeitouni
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Djalil Chafaï, Paul Bourgade

Mots clés

Mots clés contrôlés

Grandes déviations

Matrices aléatoires

Physique statistique

Mots clés libres

Physique statistique

Matrices aléatoires

Log-gases

Systèmes de Coulomb

Grandes déviations

Champs empiriques

Interactions de Riesz

Coulomb systems

Large deviations

Log-Gases

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de systèmes de particules modélisant des particules chargées en interaction, ou les valeurs propres de matrices aléatoires. On s’intéresse aux gaz de particules avec interaction logarithmique en dimension 1 et 2, et aux interactions de Coulomb/Riesz en dimension générale. On étudie leur comportement microscopique à travers un principe de grandes déviations satisfait par la loi des champs empiriques et gouverné par une fonctionnelle d’énergie libre qui met en évidence la dépendance en la température. Parmi les minimiseurs de cette énergie libre, on compte les processus ponctuels Sine-beta définis dans le contexte des matrices aléatoires. On démontre la convergence vers un processus de Poisson à haute température et, en dimension 1, on prouve la cristallisation du système dans la limite de basse température. Dans le cas des interactions logarithmiques en dimension 2, on montre une loi locale qui contrôle les fluctuations à toute échelle mésoscopique. On traite aussi le cas du gaz de Coulomb 2D avec des charges de signes opposés.

This thesis is devoted to the study of statistical physics systems which can represent charged interacting particles or eigenvalues of random matrices. We are interested in particle gases with logarithmic interaction in dimension 1 and 2 and with Coulomb/Riesz interactions in general dimension. We study the microscopic behavior by establishing a large deviation principle for the law of the empirical fields, governed by a free energy functional in which the temperature dependence appears. Minimizers of this free energy include the Sine-beta point processes defined in random matrix theory. We show the convergence to a Poisson point process at high temperature and in dimension 1 we prove crystallization in the zero temperature limit. For two-dimensional log-gases we establish a local law which bounds the fluctuations at any mesoscopic scale. We also treat the case of a 2D Coulomb gas with charges of opposite sign.