Accélération de la propagation dans les équations de réaction-diffusion par une ligne de diffusion rapide

Propagation enhancement in reaction-diffusion equations by a line of fast diffusion

• Auteur / Autrice : Laurent Dietrich
• Direction : Henri Berestycki, Jean-Michel Roquejoffre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/06/2015
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes -- Propagation

Équations de réaction-diffusion

Mots clés libres

Réaction-diffusion

Ondes progressives

Fronts

Propagation

Vitesse

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude de l'accélération de la propagation dans les équations de réaction-diffusion par un nouveau mécanisme d'échange avec une ligne de diffusion rapide. On répondra à la question de l'influence de ce couplage avec forte diffusivité sur la propagation en généralisant un résultat de Berestycki, Roquejoffre et Rossi de 2013. Le système d'équations étudié a été proposé pour donner une explication mathématique de l'influence des réseaux de transports sur les invasions biologiques. Dans un premier chapitre, on étudiera l'existence et l'unicité de solutions de type ondes progressives via une méthode de continuation. La transition se fait par l'intermédiaire d'une perturbation singulière qui paraît nouvelle dans ce contexte, connectant le système initial à un problème au bord de type Wentzell. Le second chapitre s'intéresse à la vitesse des ondes sus-mentionnées. On y démontre qu'elle croît comme la racine carrée de la diffusivité de l'espèce sur la route, ce qui généralise et démontre la robustesse du résultat de Berestycki, Roquejoffre et Rossi. De plus, on caractérise précisément le ratio de croissance comme unique vitesse admissible pour les ondes d'un système hypoelliptique a priori dégénéré. Enfin dans une dernière partie on s'intéresse à la dynamique. On y montre que ces ondes attirent une large classe de données initiales. En particulier on met en lumière un nouveau mécanisme d'attraction qui permet aux ondes d'attirer des données dont la taille est indépendante de la diffusivité sur la route ; c'est un résultat nouveau au sens où usuellement, l'accélération de fronts de réaction-diffusion se paie en renforçant les hypothèses nécessaires sur la taille des données initiales attirées.

The aim of the thesis is the study of enhancement of propagation in reaction-diffusion equations, through a new mechanism involving a line with fast diffusion. We answer the question of the influence of such a coupling with strong diffusion on propagation by generalizing a result of Berestycki, Roquejoffre and Rossi (2013). The model under study was proposed to give a mathematical understanding of the influence of transportation networks on biological invasions. The first chapter shows existence and uniqueness of travelling waves solutions with a continuation method. The transition occurs through a singular perturbation - new in this context - connecting the system with a Wentzell boundary value problem. The second chapter is concerned with the speed of the waves : we show that it grows as the square root of the diffusivity on the line, generalizing and showing the robustness of the result by Berestycki, Roquejoffre and Rossi. Moreover, the growth ratio is characterized as the unique admissible velocity for the waves of an hypoelliptic a priori degenerate system. The last part is about the dynamics : we show that the waves attract a large class of initial data. In particular, we shed light on a new mechanism of attraction which enables the waves to attract initial data with size independent of the diffusivity on the line : this is a new result, in the sense than usually, enhancement of propagation has to be paid by strengthening the assumptions on the initial data for invasion to happen.