Explicit robust constrained control for linear systems : analysis, implementation and design based on optimization

par Ngoc Anh Nguyen

Thèse de doctorat en Automatique

Sous la direction de Sorin Olaru et de Pedro Rodriguez Ayerbe.

Le président du jury était Antoine Girard.

Le jury était composé de Sorin Olaru, Pedro Rodriguez Ayerbe, Luca Zaccarian, Vivek Dua, Tor Arne Johansen.

Les rapporteurs étaient María M. Seron, Miroslav Fikar.

  • Titre traduit

    Commande robuste, explicite pour des systemes linéaires : analyse, implémentation et synthèse fondée sur l'optimalité


  • Résumé

    Les lois de commande affines par morceaux ont attiré une grande attention de la communauté d'automatique de contrôle grâce à leur pertinence pour des systèmes contraints, systèmes hybrides; également pour l'approximation de commandes nonlinéaires. Pourtant, leur mise en oeuvre est soumise à quelques difficultés. Motivé par l'intérêt à cette classe de commandes, cette thèse porte sur leur analyse, mise en oeuvre et synthèse.La première partie de cette thèse a pour but le calcul de la marge de robustesse et de la marge de fragilité pour une loi de commande affine par morceaux donnée et un système linéaire discret. Plus précisément, la marge de robustesse est définie comme l'ensemble des systèmes linéaires à paramètres variants que la loi de commande donnée garde les trajectoires dans de la région faisable. D'ailleurs, la marge de fragilité comprend toutes les variations des coefficients de la commande donnée telle que l'invariance de la région faisable soit encore garantie. Il est montré que si la région faisable donnée est un polytope, ces marges sont aussi des polytopes.La deuxième partie de ce manuscrit est consacrée au problème de l'optimalité inverse pour la classe des fonctions affines par morceaux. C'est-à-dire, l'objective est de définir un problème d'optimisation pour lequel la solution optimale est équivalente à la fonction affine par morceaux donnée. La méthodologie est fondée sur le convex lifting, i.e., un variable auxiliaire, scalaire, qui permet de définir un ensemble convex à partir de la partition d'état de la fonction affine par morceaux donnée. Il est montré que si la fonction affine par morceaux donnée est continue, la solution optimale de ce problème redéfini sera unique. Par contre, si la continuité n'est pas satisfaite, cette fonction affine par morceaux sera une solution optimale parmi les autres du problème redéfini.En ce qui concerne l’application dans la commande prédictive, il sera montré que n'importe quelle loi de commande affine par morceaux continue peut être obtenue par un autre problème de commande prédictive avec l'horizon de prédiction au plus égal à 2. A côté de cet aspect théorique, ce résultat sera utile pour faciliter la mise en oeuvre des lois de commandes affines par morceaux en évitant l'enregistrement de la partition de l'espace d'état. Dans la dernière partie de ce rapport, une famille de convex liftings servira comme des fonctions de Lyapunov. En conséquence, ce "convex lifting" sera déployé pour synthétiser des lois de commande robustes pour des systèmes linéaires incertains, également en présence de perturbations additives bornées. Des lois implicites et explicites seront obtenues en même temps. Cette méthode permet de garantir la faisabilité récursive et la stabilité robuste. Cependant, cette fonction de Lyapunov est limitée à l'ensemble λ −contractive maximal avec une constante scalaire 0 ≤ λ < 1 qui est plus petit que l'ensemble contrôlable maximal. Pour cette raison, une extension de cette méthode pour l'ensemble contrôlable de N − pas, sera présentée. Cette méthode est fondée sur des convex liftings en cascade où une variable auxiliaire sera utilisée pour servir comme une fonction de Lyapunov. Plus précisément, cette variable est non-négative, strictement décroissante pour les N premiers pas et égale toujours à 0 − après. Par conséquent, la stabilité robuste est garantie.


  • Résumé

    Piecewise affine (PWA) feedback control laws have received significant attention due to their relevance for the control of constrained systems, hybrid systems; equally for the approximation of nonlinear control. However, they are associated with serious implementation issues. Motivated from the interest in this class of particular controllers, this thesis is mostly related to their analysis and design.The first part of this thesis aims to compute the robustness and fragility margins for a given PWA control law and a linear discrete-time system. More precisely, the robustness margin is defined as the set of linear time-varying systems such that the given PWA control law keeps the trajectories inside a given feasible set. On a different perspective, the fragility margin contains all the admissible variations of the control law coefficients such that the positive invariance of the given feasible set is still guaranteed. It will be shown that if the given feasible set is a polytope, then so are these robustness/fragility margins.The second part of this thesis focuses on inverse optimality problem for the class of PWA controllers. Namely, the goal is to construct an optimization problem whose optimal solution is equivalent to the given PWA function. The methodology is based on emph convex lifting: an auxiliary 1− dimensional variable which enhances the convexity characterization into recovered optimization problem. Accordingly, if the given PWA function is continuous, the optimal solution to this reconstructed optimization problem will be shown to be unique. Otherwise, if the continuity of this given PWA function is not fulfilled, this function will be shown to be one optimal solution to the recovered problem.In view of applications in linear model predictive control (MPC), it will be shown that any continuous PWA control law can be obtained by a linear MPC problem with the prediction horizon at most equal to 2 prediction steps. Aside from the theoretical meaning, this result can also be of help to facilitate implementation of PWA control laws by avoiding storing state space partition. Another utility of convex liftings will be shown in the last part of this thesis to be a control Lyapunov function. Accordingly, this convex lifting will be deployed in the so-called robust control design based on convex liftings for linear system affected by bounded additive disturbances and polytopic uncertainties. Both implicit and explicit controllers can be obtained. This method can also guarantee the recursive feasibility and robust stability. However, this control Lyapunov function is only defined over the maximal λ −contractive set for a given 0 ≤ λ < 1 which is known to be smaller than the maximal controllable set. Therefore, an extension of the above method to the N-steps controllable set will be presented. This method is based on a cascade of convex liftings where an auxiliary variable will be used to emulate a Lyapunov function. Namely, this variable will be shown to be non-negative, to strictly decrease for N first steps and to stay at 0 afterwards. Accordingly, robust stability is sought.


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