Théorie des semi-groupes pour les équations de Stokes et de Navier-Stokes avec des conditions aux limites de type Navier

Semi-group theory for the Stokes and Navier-Stokes equations with Navier-type boundary conditions

• Auteur / Autrice : Hind Al Baba
• Direction : Cherif Amrouche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 10/06/2015
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Universidad del País Vasco
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Puissances fractionnaires

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Équations de Stokes

Équations de Navier-Stokes

Conditioconditionsns de Navier-

Conditions de type-Navier

Théorie des semi-groupes

Puissances fractionnaires d'un opérateur

Puissances imaginaires pures d'un opérateur

Stokes equationq

Navier-Stokes equations

Navier boundary conditions

Navier-type boundary conditions

Semi-group theory

Fractional powers of an operator

Pure imaginary powers of an operator

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique mathématique des équations de Stokes et de Navier-Stokes dans un domaine borné de R^3 en utilisant la théorie des semi-groupes. Trois différents types de conditions seront considérés : des conditions aux limites de Navier, de type-Navier et des conditions qui dépendent de la pression. Ce manuscrit est composé de six chapitres. Tout d'abord nous commençons par un état de l'art sur les équations de Navier-Stokes. Ensuite nous démontrons l'analyticité du semi-groupe de Stokes avec chacune des conditions ci-dessus. Ceci permet de résoudre le problème d'évolution en utilisant la théorie des semi-groupes. Nous étudions également les puissances complexes et fractionnaires de l'opérateur de Stokes pour lesquelles nous démontrons certaines propriétés et estimations. Ces résultats seront utilisés dans la suite pour obtenir des estimations de type L^p-L^q pour le semi-groupe de Stokes, un résultat de régularité L^p-L^q maximale pour le problème de Stokes inhomogène et des résultats d'existence et d'unicité locale pour le problème non-linéaire. Après nous étudions le problème d'évolution de Stokes. Outre la régularité L^p-L^q maximale, nous démontrons l'existence des solutions faibles u∈L^q (0,T; W^(1,p) (Ω)), fortes u∈L^q (0,T; W^(2,p) (Ω)) et très faibles u∈L^q (0,T; L^p (Ω)) du problème de Stokes. On termine par l'étude du problème de Navier-Stokes avec chacune des conditions aux limites citées ci-dessus. Tout d'abord, en utilisant les estimations L^p-L^q on démontre l'existence d'une unique solution locale u qui vérifieu∈BC([0,T_0 ); L_(σ,τ)^p (Ω))∩L^q (0,T_0; L_(σ,τ)^r (Ω)), q,r>p, 2/q+3/r=3/p.De plus, pour une donnée initiale petite, on obtient l'existence globale des solutions. Ensuite en estimant le terme non-linéaire en fonction des puissances fractionnaires de l'opérateur de Stokes on démontre la régularité de la solution.

This thesis is devoted to the mathematical theoretical study of the Stokes and Navier-Stokes equations in a bounded domain of R^3 using the semi-group theory. Three different types of boundary conditions will be considered: Navier boundary conditions, Navier-type boundary conditions and boundary condition involving the pressure. This manuscript contains six chapters. We prove first the analyticity of the Stokes semi-group with each of the boundary conditions stated above. This allows us to solve the time dependent Stokes problem using the semi-group theory. We will study also the complex and fractional powers of the Stokes operator for which we prove some properties and estimations. These results will be used in the sequel to prove an estimate of type L^p-L^q for the Stokes semigroup, as well as the maximal L^p-L^q regularity for the inhomogeneous Stokes problem and an existence result for the non-linear problem. Next we study the time dependent Stokes problem, besides the maximal L^p-L^q regularity, we prove the existence of weak u∈L^q (0,T; W^(1,p) (Ω)), strong u∈L^q (0,T; W^(2,p) (Ω)) and very weak u∈L^q (0,T; L^p (Ω)) solutions to the Stokes problem. We end with the study of the Navier-Stokes problem. First using the L^p-L^q estimate for the Stokes semi-group we prove the existence of a unique local in time mild solution for the Navier-Stokes problem that verifies u∈BC([0,T_0 ); L_(σ,τ)^p (Ω))∩L^q (0,T_0; L_(σ,τ)^r (Ω)), q,r>p, 2/q+3/r=3/p.Furthermore, for some initial data the solution is global in time. Finally, by estimating the non-linear term as a function of the fractional powers of the Stokes operator we prove that the solution is regular.