Analyse mathématique de modèles de trafic routier congestionné

par Roméo Hatchi

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Guillaume Carlier.

Soutenue le 02-12-2015

à Paris 9 , dans le cadre de Ecole doctorale de Dauphine (Paris) , en partenariat avec Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) (laboratoire) .

Le président du jury était Filippo Santambrogio.

Le jury était composé de Guillaume Carlier, Filippo Santambrogio, Yves Achdou, Pierre Cardaliaguet, Bruno Nazaret, Jean-David Benamou.

mots clés

• Problème de Monge
• Trafic congestionné
• Équilibre de Wardrop
• Gamma-Convergence
• Courbes généralisées
• Conditions d'optimalité
• Mesure d'Young
• Problème de Beckmann
• EDPs anisotropiques et dégénérées
• Lagrangien augmenté
• Simulations numériques
• Distance de Finsler
• Monge-Ampère, Équations de
• Théorie des jeux
• Équations différentielles dégénérées
• Convergence (mathématiques)
• Finsler, Espaces de
• Optimisation mathématique
• Simulation par ordinateur
• Éléments finis, Méthode des
• Équations différentielles elliptiques
• Équations aux dérivées partielles
• Embouteillages (circulation)

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de quelques modèles de trafic routier congestionné. La notion essentielle est l'équilibre de Wardrop. Elle poursuit des travaux de Carlier et Santambrogio avec des coauteurs. Baillon et Carlier ont étudié le cas de grilles cartésiennes dans $\RR^2$ de plus en plus denses, dans le cadre de la théorie de $\Gamma$-convergence. Trouver l'équilibre de Wardrop revient à résoudre des problèmes de minimisation convexe. Dans le chapitre 2, nous regardons ce qui se passe dans le cas de réseaux généraux, de plus en plus denses, dans $\RR^d$. Des difficultés nouvelles surgissent par rapport au cas initial de réseaux cartésiens et pour les contourner, nous introduisons la notion de courbes généralisées. Des hypothèses structurelles sur ces suites de réseaux discrets sont nécessaires pour s'assurer de la convergence. Cela fait alors apparaître des fonctions qui sont des sortes de distances de Finsler et qui rendent compte de l'anisotropie du réseau. Nous obtenons ainsi des résultats similaires à ceux du cas cartésien. Dans le chapitre 3, nous étudions le modèle continu et en particulier, les problèmes limites. Nous trouvons alors des conditions d'optimalité à travers une formulation duale qui peut être interprétée en termes d'équilibres continus de Wardrop. Cependant, nous travaillons avec des courbes généralisées et nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème de Prokhorov, comme cela a été le cas dans \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. Pour pouvoir néanmoins l'utiliser, nous considérons une version relaxée du problème limite, avec des mesures d'Young. Dans le chapitre 4, nous nous concentrons sur le cas de long terme, c'est-à-dire, nous fixons uniquement les distributions d'offre et de demande. Comme montré dans \cite{brasco2013congested}, le problème de l'équilibre de Wardrop est équivalent à un problème à la Beckmann et il se réduit à résoudre une EDP elliptique, anisotropique et dégénérée. Nous utilisons la méthode de résolution numérique de Lagrangien augmenté présentée dans \cite{benamou2013augmented} pour proposer des exemples de simulation. Enfin, le chapitre 5 a pour objet l'étude de problèmes de Monge avec comme coût une distance de Finsler. Cela se reformule en des problèmes de flux minimal et une discrétisation de ces problèmes mène à un problème de point-selle. Nous le résolvons alors numériquement, encore grâce à un algorithme de Lagrangien augmenté.

mots clés

• Monge problem
• Congested traffic
• Wardrop equilibrium
• Gamma-Convergence
• Generalized curves
• Optimality conditions
• Young's measure
• Beckmann problem
• Anisotropic and degenerated PDEs
• Augmented Lagrangian
• Numerical simulations
• Finsler distance

Titre traduit

Mathematical analysis of models of congested road traffic

Résumé

This thesis is devoted to the mathematical analysis of some models of congested road traffic. The essential notion is the Wardrop equilibrium. It continues Carlier and Santambrogio's works with coauthors. With Baillon they studied the case of two-dimensional cartesian networks that become very dense in the framework of $\Gamma$-convergence theory. Finding Wardrop equilibria is equivalent to solve convex minimisation problems.In Chapter 2 we look at what happens in the case of general networks, increasingly dense. New difficulties appear with respect to the original case of cartesian networks. To deal with these difficulties we introduce the concept of generalized curves. Structural assumptions on these sequences of discrete networks are necessary to obtain convergence. Sorts of Finsler distance are used and keep track of anisotropy of the network. We then have similar results to those in the cartesian case.In Chapter 3 we study the continuous model and in particular the limit problems. Then we find optimality conditions through a duale formulation that can be interpreted in terms of continuous Wardrop equilibria. However we work with generalized curves and we cannot directly apply Prokhorov's theorem, as in \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. To use it we consider a relaxed version of the limit problem with Young's measures. In Chapter 4 we focus on the long-term case, that is, we fix only the distributions of supply and demand. As shown in \cite{brasco2013congested} the problem of Wardrop equilibria can be reformulated in a problem à la Beckmann and reduced to solve an elliptic anisotropic and degenerated PDE. We use the augmented Lagrangian scheme presented in \cite{benamou2013augmented} to show a few numerical simulation examples. Finally Chapter 5 is devoted to studying Monge problems with as cost a Finsler distance. It leads to minimal flow problems. Discretization of these problems is equivalent to a saddle-point problem. We then solve it numerically again by an augmented Lagrangian algorithm.