A study of skeleta in non-Archimedean geometry

par John Welliaveetil

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Loeser.

Soutenue le 30-06-2015

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (laboratoire) .

Le jury était composé de Jean-François Dat, Annette Werner, Jérôme Poineau, Martin Hils, Bertrand Remy.

  • Titre traduit

    Une étude des squelettes en géométrie non Archimédienne


  • Résumé

    Cette thèse s'appuie sur et reflète l'interaction entre la théorie des modèles et la géométrie de Berkovich. En utilisant les méthodes de Hrushovski et Loeser, nous montrerons que plusieurs phénomènes topologiques concernant des analytifications de variétés sont contrôlés par certains complexes simpliciaux contenus dans les analytifications. Ce travail comporte les résultats suivants. Soit k un corps algébriquement clos et complet pour une valuation non-archimédienne non-triviale à valeurs réelles. 1) Soit φ:C′→C un morphisme fini entre deux courbes projectives, lisses et irréductibles. Le morphisme φ induit un morphisme φ^{an}:C′^{an}→C^{an} entre les deux analytifications. Nous construisons une paire de rétractions par déformations qui sont compatible pour le morphisme φ^{an}. Les images des déformations Υ_{C'^{an}}, Υ_C^{an} sont des sous-espaces fermés de C'^{an} and C^{an} et homéomorphes à des graphes finis. Ce type de sous-espace est appelé squelette. En outre, les espaces analytiques C'^{an}∖Υ_{C'^{an}} et C^{an}∖Υ_{C^{an}} se décomposent en une union disjointe de copies de disques unités de Berkovich. Un squelette Υ ⊂ C^{an} peut-être décomposé en un ensemble des sommets et un ensemble d'arêtes et on peut définir son genre g(Υ).Nous montrons que g(Υ) est un invariant bien défini de la courbe C. On appelle cet invariant g^{an}(C). Le morphisme φ^{an} induira un morphisme Υ_{C'^{an}}→Υ_{C^{an}} entre les deux squelettes. Nous montrons que le genre du squelette Υ_{C'^{an}} peut être calculé en utilisant certains invariants associés aux points de Υ_{C^{an}}. 2) Soit φ un endomorphisme fini de ℙ^1_k. Soit x ∈ ℙ¹_k(k) et f(x) le rayon de la plus grande boule de Berkovich de centre x, sur laquelle le morphisme φ^{an} est une fibration topologique. Nous voyons que la fonction f : ℙ¹(k)→ℝ_{≥0} est contrôlée par un graphe fini et non-vide contenu dans ℙ^{1,an}_k. Nous montrons que ce résultat peut être généralisé au cas d'un morphisme fini φ:V'→V entre deux variétés intégrales, projectives avec V normale.


  • Résumé

    This thesis is a reflection of the interaction between Berkovich geometry and model theory. Using the results of Hrushovski and Loeser, we show that several interesting topological phenomena that concern the analytifications of varieties are governed by certain finite simplicial complexes embedded in them. Our work consists of the following two sets of results. Let k be an algebraically closed non-Archimedean non trivially real valued field which is complete with respect to its valuation. 1) Let φ:C′→C be a finite morphism between smooth projective irreducible k-curves.The morphism φ induces a morphism φ^{an}:C′^{an}→C^{an} between the Berkovich analytifications of the curves. We construct a pair of deformation retractions of C'^{an} and C^{an} which are compatible with the morphism φ^{an} andwhose images Υ_{C'^{an}}, Υ_C^{an} are closed subspaces of C'^{an}, C^{an} that are homeomorphic to finite metric graphs. We refer to such closed subspaces as skeleta.In addition, the subspaces Υ_{C'^{an}} and Υ_C^{an} are such that their complements in their respective analytifications decompose into the disjoint union of isomorphic copies of Berkovich open balls. The skeleta can be seen as the union of vertices and edges, thus allowing us to define their genus. The genus of a skeleton in a curve C is in fact an invariant of the curve which we call g^{an}(C). The pair of compatible deformation retractions forces the morphism φ^{an} to restrict to a map Υ_{C'^{an}}→Υ_{C^{an}}. We study how the genus of Υ_{C'^{an}} can be calculated using the morphism φ^{an}_{Υ_{C'^{an}}} and invariants defined on Υ_{C^{an}}. 2) Let φ be a finite endomorphism of ℙ^1_k. Given a closed point x ∈ ℙ¹_k, we are interested in the radius f(x) of the largest Berkovich open ball centered at x over which the morphism φ^{an} is a topological fibration. Interestingly, the function f : ℙ¹(k)→ℝ_{≥0} admits a strong tameness property in that it is controlled by a non-empty finite graph contained in ℙ^{1,an}_k. We show that this result can be generalized to the case of finite morphisms φ:V'→V between integral projective k-varieties where V is normal.


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