Quelques problèmes de géométrie Finslérienne et Kählerienne

par Inès Adouani

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Adnène Ben Abdesselem et de Mohamed Selmi.

Soutenue le 11-05-2015

à Paris 6 en cotutelle avec l'Université Tunis El Manar. Faculté des Sciences Mathématiques, Physiques et Naturelles de Tunis (Tunisie) , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (laboratoire) .

Le jury était composé de Athanase Papadopoulos, Paolo De Bartolomeis, Gilles Courtois, Sami Baraket, Fethi Hagui, Pascal Cherrier.


  • Résumé

    Cette thèse traite de quelques problèmes classiques en géométrie complexe. La première partie est consacrée à la géométrie Finslérienne complexe. Étant donnés deux fibrés vectoriels holomorphes E1 et E2, munis respectivement de deux structures Finslériennes F1 et F2, on construit une métrique Finslérienne F sur le fibré E 1 ⊗ E 2 faisant intervenir les structures Finslériennes initiales. Moyennant une hypothèse sur les sections globales de E1* et E2*, on donne une condition optimale sous laquelle F est strictement pseudo convexe à courbure négative. Ce résultat est présenté après un chapitre constituant un background Finslérien témoignant de la recherche bibliographique en amont de cette thèse et de quelques initiatives et essais personnels. La seconde partie de ce travail traite d'un problème en géométrie Kählerienne. On prouve l'existence d'une fonction "extrémale" minorant toutes les fonctions admissibles (c'est à dire strictement pseudo convexe à la métrique initiale près) à sup nul sur des variétés de Fano non toriques, à savoir la grassmannienne complexe G m,nm ( C ). Les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'automorphismes convenablement choisi. Cette minoration est faite dans le but de calculer l'invariant de Tian sur de telles variétés, les initiatives dans le cas non torique restant très rares, même sur les variétés les plus simples.

  • Titre traduit

    Some problems on Finsler and Kähler geometry


  • Résumé

    This thesis deals with some classical problems in complex geometry. The first part is devoted to a problem in complex Finsler Geometry. Giving two holomorphic vector bundles E1 and E2, respectively endowed with two Finsler structures F1 and F2, we build a Finsler metric F on E 1 ⊗ E 2 involving the two initial Finsler structures. This is done under some assumptions on global sections of E1* and E2*. We give an optimal condition under which F is strictly pseudo convex with negative curvature. This result is preceded by a chapter containing a background material in complex Finsler geometry and some personal attempts. The second part of this thesis deals with a problem in Kähler Geometry. We prove the existence of an "extremal" function lower bounding all admissible functions (ie plurisubharmonic functions modulo a metric) with sup equal to zero on the complex Grassmann manifold G m,nm ( C ). The functions considered are invariant under a suitable automorphisms group. This gives a conceptually simple method to compute Tian's invariant in the case of a non toric manifold.


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