The Yamabe problem on stratified spaces

• Auteur / Autrice : Ilaria Mondello
• Direction : Gilles Carron
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Nantes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Hebey
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gilles Carron, Emmanuel Hebey, Sun-Yung Alice Chang, Emmanuel Humbert, Benoit Kloeckner, Vincent Minerbe, Samuel Tapie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sun-Yung Alice Chang, Emmanuel Humbert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Stratifications

Géométrie de Riemann

Laplacien

Sobolev, Inégalités de

Mots clés libres

Problème de Yamabe

Résumé

On étudie une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, et on se propose d’étendre à ces derniers des résultats de géométrie riemannienne et d’analyse sur les variétés. Dans une première partie, on montre l’existence d’une borne inférieure pour le bas du spectre du Laplacien, sous une hypothèse géométrique de minoration de la courbure de Ricci. Cela permet également de démontrer l’existence d’une inégalité de Sobolev dont les constantes dépendent uniquement du volume et de la dimension de l’espace, et d’une borne supérieure pour le diamètre. En outre, on prouve que la borne pour le diamètre est atteinte si et seulement si celle pour le bas du spectre l’est aussi. La deuxième partie de ce manuscrit est dédiée aux conséquences des résultats précédents sur le problème de Yamabe pour un espace stratifié : ce problème consiste à chercher une métrique conforme à courbure scalaire constante, et l’existence d’une solution dépend d’un invariant conforme, la constante de Yamabe locale, dont la valeur est en général inconnue. On montre que celle-ci peut-être calculée en un grand nombre de cas, lorsque une hypothèse géométrique sur le lieu singulier est vérifiée. On utilise des techniques liées aux inégalités isopérimétrique et de Sobolev. Enfin, on donne une classe d’exemples pour lesquels on peut prouver qu’une métrique conforme à courbure scalaire constante existe.

We study a class of singular metric spaces, stratified spaces, with an approach whose goal is to extend to these latter some tools and results of Riemannian geometry and analysis on smooth manifolds. In a first part, we show the existence of a lower bound for the bottom of the spectrum of the Laplacian, under the assumption that the Ricci curvature is bounded by below. This allows us to prove also the existence of a Sobolev inequality whose constants only depend on the volume and of the dimension of the space, and of an upper bound for the diameter. Furthermore, we prove that the bound for the diameter is attained if and only if the one for the bottom of the spectrum is attained as well. The second part is devoted to the direct consequences of the previous results on the Yamabe problem on a stratified space: this problem consists in looking for a conformal metric with constant scalar curvature, and the existence of a solution depends on a conformal invariant, the local Yamabe constant, whose value is generally unknown. We show that this latter can be computed in a large number of cases, when a geometric hypothesis on the singular set is verified. We use techniques which are related to the Sobolev and the isoperimetric inequalities. Finally, we give a class of examples for which we can prove the existence of a conformal metric with constant scalar curvature.