Idempotents de Jones-Wenzl évaluables aux racines de l'unité et représentation modulaire sur le centre de U¯_{q}sl(2)

Résumé

Soit p∈ℕ*. On définit une famille d'idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines 4p-ième de l'unité qui généralise les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint U¯_{q}sl(2), où q est une racine 2p-ième de l'unité. A l'instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d'écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d'obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de SL₂(ℤ) de [LM94] induite sur le centre de U¯_{q}sl(2), qui étend non trivialement de la représentation de SL₂(ℤ) obtenue par la TQFT de [RT91].

mots clés

Titre traduit

Evaluable Jones-Wenzl idempotents at roots of unity and modular representation on the center of U¯_{q}sl(2)
Résumé

Let p in N^*. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley-Lieb algebras at 4p-th roots of unity which generalizes the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group U¯_{q}sl(2), where q is a 2p-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of SL₂(ℤ) on the center of U¯_{q}sl(2), which extends non trivially the [RT91] representation of SL₂(ℤ).