Accélération stochastique dans un gaz de Lorentz inélastique

par Émilie Soret

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Stephan De Bièvre et de Thomas Simon.

Soutenue le 30-06-2015

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions la dynamique d'une particule dans un milieu inélastique composé de diffuseur et communément appelé gaz de Lorentz inélastique. Dans le cas inerte, le milieu n'est pas affecté par le passage de la particule. L'énergie cinétique de celle-ci croît avec le temps et ce phénomène est appelé « accélération stochastique ». Nous approximons le mouvement de la particule par une chaîne de Markov dont chaque pas correspond à une unique collision entre la particule et un diffuseur. Nous montrons que l'énergie cinétique moyenne de la particule croît avec le temps avec pour exposant 2/5. Ce résultat est montré en utilisant des arguments probabilistes, utilisant des théorèmes de convergence de chaînes de Markov ainsi que la convergence en distribution de la chaîne, correctement changée d'échelle en temps et en espace, vers un processus de Bessel. Nous obtenons également un résultat de convergence pour le vecteur vitesse. Sous un changement d'échelle différent de celui utilisé pour l'énergie cinétique, celui-ci converge en distribution vers un mouvement brownien sphérique. Dans le cas dynamique, l'évolution des degrés de liberté du gaz de Lorentz est affecté par le passage de la particule et le système dynamique considéré est composé de la particule et du milieu. Dans un tel système, le phénomène d'accélération stochastique ne peut pas être observé. En revanche nous montrons que la distribution des vitesses admet un état stationnaire.

  • Titre traduit

    Stochastic acceleration in an inelastic Lorentz gas


  • Résumé

    In this thesis, we study the dynamics of a particle in an inelastic environment composed of scatterer which is commonly known as inelastic Lorentz gas. In the inert case, the environment is not affected by the particle. The kinetic energy of the latter grows with the time and this phenomenon is called « stochastic acceleration ». We approximate the particle's motion by a Markov chain where each step corresponds to a unique collision of the particle with a scatterer. We show that the particle's averaged kinetic energy grows with the time with the exponent 2/5. The result is proved by using probabilistic arguments, bringing into weak convergence theorems of Markov chain as well as the weak convergence of the chain, correctly rescaled in time and space, to a Bessel process.We thus obtain a convergence result for the velocity vector. Under a different rescaling that the one used for the kinetic energy, the latter converges weakly to a spherical brownian motion. In the dynamical case, the evolution of the degrees of freedom of the Lorentz gas is affected by the particle and the dynamical system considered is constitued of the particle and the environment. In such a system, the stochastic acceleration phenomenon cannot be observed. However, we show that the velocity distribution admits a stationnary state.


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