Dynamique jointe stock/option et application aux stratégies de trading sur options

par Sofiene El Aoud

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Frédéric Abergel.

Le président du jury était Huyên Pham.

Le jury était composé de Frédéric Abergel, Grégoire Loeper, Serge Darolles, Mathieu Rosenbaum, Christian Marzolin.

Les rapporteurs étaient Grégoire Loeper, Serge Darolles.


  • Résumé

    Cette thèse explore théoriquement et empiriquement les implications de la dynamique jointe action/option sur divers problématiques liées au trading d’options. Dans un premier temps, nous commençons par l’étude de la dynamique jointe entre une option sur un stock et une option sur l’indice de marché. Le modèle CAPM fournit un cadre mathématique adéquat pour cette étude car il permet de modéliser la dynamique jointe d’un stock et son indice de marché. En passant aux prix d’options, nous montrons que le beta et la volatilité idiosyncratique, paramètres du modèle, permettent de caractériser la relation entre les surfaces de volatilité implicite du stock et de l’indice. Nous nous penchons alors sur l’estimation du paramètre beta sous la probabilité risque-neutre en utilisant les prix d’options. Cette mesure, appelée beta implicite, représente l’information contenue dans les prix d’options sur la réalisation du paramètre beta dans le futur.Pour cette raison, nous essayons de voir, si le beta implicite a un pouvoir prédictif du beta futur.En menant une étude empirique, nous concluons que le beta implicite n’améliore pas la capacité de prédiction en comparaison avec le beta historique qui est calculé à travers la régression linéaire des rendements du stock sur ceux de l’indice. Mieux encore, nous remarquons que l’oscillation du beta implicite autour du beta futur peut entraîner des opportunités d’arbitrage, et nous proposons une stratégie d’arbitrage qui permet de monétiser cet écart. D’un autre côté, nous montrons que l’estimateur du beta implicite pourrait être utilisé pour la couverture d’options sur le stock en utilisant des instruments sur l’indice, cette couverture concerne notamment le risque de volatilité et aussi le risque de delta. Dans la deuxième partie de notre travail, nous nous intéressons au problème de market making sur options. Dans cette étude, nous supposons que le modèle de dynamique du sous-jacent sous la probabilité risque-neutre pourrait être mal spécifié ce qui traduit un décalage entre la distribution implicite du sous-jacent et sa distribution historique.Dans un premier temps, nous considérons le cas d’un market maker risque neutre qui vise à maximiser l’espérance de sa richesse future. A travers l’utilisation d’une approche de contrôle optimal stochastique, nous déterminons les prix optimaux d’achat et de vente sur l’option et nous interprétons l’effet de présence d’inefficience de prix sur la stratégie optimale. Dans un deuxième temps, nous considérons que le market maker est averse au risque et essaie donc de réduire l’incertitude liée à son inventaire. En résolvant un problème d’optimisation basé sur un critère moyenne-variance, nous obtenons des approximations analytiques des prix optimaux d’achat et de vente. Nous montrons aussi les effets de l’inventaire et de l’inefficience du prix sur la stratégie optimale. Nous nous intéressons par la suite au market making d’options dans une dimension plus élevée. Ainsi, en suivant le même raisonnement, nous présentons un cadre pour le market making de deux options ayant des sous-jacents différents avec comme contrainte la réduction de variance liée au risque d’inventaire détenu par le market-maker. Nous déterminons dans ce cas la stratégie optimale et nous appuyons les résultats théoriques par des simulations numériques.Dans la dernière partie de notre travail, nous étudions la dynamique jointe entre la volatilité implicite à la monnaie et le sous jacent, et nous essayons d’établir le lien entre cette dynamique jointe et le skew implicite. Nous nous intéressons à un indicateur appelé "Skew Stickiness Ratio"qui a été introduit dans la littérature récente. Cet indicateur mesure la sensibilité de la volatilité implicite à la monnaie face aux mouvements du sous-jacent. Nous proposons une méthode qui permet d’estimer la valeur de cet indicateur sous la probabilité risque-neutre sans avoir besoin d’admettre des hypothèses sur la dynamique du sous-jacent. [...]

  • Titre traduit

    Stock/option joint dynamics and application to option trading strategies


  • Résumé

    This thesis explores theoretically and empirically the implications of the stock/option joint dynamics on applications related to option trading. In the first part of the thesis, we look into the relations between stock options and index options under the risk-neutral measure. The Capital Asset Pricing Model offers an adequate mathematical framework for this study as it provides a modeling approach for the joint dynamics between the stock and the index. As we compute option prices according to this model, we find out that the beta and the idiosyncratic volatility of the stock, which are parameters of the model, characterize the relation between the implied volatility surface of the stock and the one of the index. For this reason, we focus on the estimation of the parameter beta under the risk-neutral measure through the use of option prices.This measure, that we call implied beta, is the information contained in option prices concerning the realization of the parameter beta in the future. Trying to use this additional information, we carry out an empirical study in order to investigate whether the implied beta has a predictive power of the forward realized beta. We conclude that the implied beta doesn’t perform better than the historical beta which is estimated using the linear regression of the stock’s returns onthe index returns. We conclude also that the oscillation of the implied beta around the forward realized beta can engender arbitrage opportunities, and we propose an arbitrage strategy which enables to monetize this difference. In addition, we show that the implied beta is useful to hedge stock options using instruments on the index. In the second part of our work, we consider the problem of option market making. We suppose that the model used to describe the dynamics of the underlying under the risk-neutral probability measure can be misspecified which means thatthe implied distribution of the underlying may be different from its historical one. We consider first the case of a risk neutral market maker who aims to maximize the expectation of her final wealth. Using a stochastic control approach, we determine the optimal bid and ask prices on the option and we interpret the effect of price inefficiency on the optimal strategy. Next to that, we suppose that the market maker is risk averse as she tries to minimize the variance of her finalwealth. We solve a mean-variance optimization problem and we provide analytic approximations for the optimal bid and ask prices. We show the effects of option inventory and price inefficiency on the optimal strategy. We try then to extrapolate the study to a higher dimension in order to see the effect of joint dynamics of the different underlyings on the optimal strategy. Thus, we study market making strategies on a pair of options having different underlyings with the aim to reduce the risk due to accumulated inventories in these two options. Through the resolution of the HJB equation associated to the new optimization problem, we determine the optimal strategy and we support our theoretical finding with numerical simulations. In the final part of the thesis, we study the joint dynamics of the at-the-money implied volatility and the spot process. We try to establish a relation between this joint dynamics and the implied skew through the use of a quantity called the Skew Stickiness Ratio which was introduced in the recent literature. The Skew Stickiness Ratio quantifies the effect of the log-return of the spot on the increment of theat-the-money volatility. We suggest a model-free approach for the estimation of the SSR (Skew Stickiness Ratio) under the risk-neutral measure, this approach doesn’t depend on hypothesis on the dynamics of the underlying. [...]


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