Analyse semi-classique des opérateurs périodiques perturbés

Semi classical analysis for perturbation of periodic operators

• Auteur / Autrice : Youssef Sbai
• Direction : Mouez Dimassi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 10/12/2015
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Alain Bachelot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maher Zerzeri, Vesselin Petkov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Briet, Setsuro Fujiie

Mots clés

Mots clés contrôlés

Distribution des valeurs, Théorie de la

Développements asymptotiques

Constantes de couplage

Champs magnétiques

Opérateurs presque périodiques

Mots clés libres

Opérateur périodique

Champs magnétiques

Limite semi-Classique

Grandes constantes de couplage

Densité d'états

Potentiel trés oscillents

Développements asymptotiques

Distribution des valeurs propres

Periodic operator

Magnetic fields

Semi-Classicall limit

Large coupling constant

Density of state

Oscillating decaying potentials

Asymptotic expansions

Eigenvalues distribution

Résumé

Cette thèse traite de certaines propriétés spectrales de deux classes spécifiques des opérateurs périodiques. Nous nous intéressons tout d’abord à un modèle périodique perturbée par un opérateur dépendant d’un petit paramètre semi-classique. Nous obtenons alors le comportement asymptotique de la fonction du comptage des valeurs propres dans les gaps spectrales avec une estimation optimale du reste. Le second modèle étudié dans cette thèse est un modèle elliptique périodique d’ordre deux perturbée par un opérateur dépendant d’une grande constante de couplage. Nous donnons également la description de la fonction de compactage des valeurs propres lorsque la constante de couplage tend vers l’infini. La dernière partie de cette thèse discute l’étude du spectre discret de l’opérateur de Schrödinger avec un potentiel très oscillent dépendant d’un petit paramètre semi-classique.

This Ph.D thesis deals with some spectral properties of two specific classes of two periodic operators. We are firstly interested in the model periodic perturbed by operator depending on a small semi-classical constant. We obtain an asymptotic behavior of the eigenvalue counting function in the spectral gaps with scharp remainder estimate. The second model studied in this thesis is a two-dimensional periodic elliptic second order opera-tor perturbed by operator depending on a large coupling constant. We also give the description of the counting function of eigenvalues when the coupling constant tends to infinity. The last part of this thesis highlights the study the spectrum of a Schrödinger operator perturbed by a fast oscillatingdecaying potential depending on a small parameter.