Comportement limite des systèmes singuliers et les limites de fonctions valeur en contrôle optimal

Limit behavior of singular systems and the limits of value functions in optimal control

• Auteur / Autrice : Hayk Sedrakyan
• Direction : Hélène Frankowska, Marc Quincampoix
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance le 05/12/2014
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Equipe combinatoire et optimisation
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Térence Bayen, Lars Gruene, Sylvain Sorin, Pierre Cardaliaguet, Piermarco Cannarsa

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hamilton-Jacobi, Équations de

Solutions de viscosité

Mots clés libres

Perturbations singulières

Problème de Bolza

Condition de nonexpansivité

Solution de viscosité

Equations d'Hamilton-Jacobi

Contraintes d'état

Bolza problem

Hamilton-Jacobi equations

Résumé

Cette thèse se compose de deux parties principales. Dans la première partie, le Chapitre 3 est consacré à l'étude du comportement limite d'un système contrôlé singulièrement perturbé avec deux variables d'état qui sont faiblement couplées. Afin de prouver notre résultat d'approximation, nous utilisons la méthode de moyennisation et un résultat récent sur le contrôle nonexpansif. La principale nouveauté de notre approche est de permettre la dynamique limite de dépendre de l'état initial du système rapide. Notons que dans la littérature, le comportement limite d'un tel système a été généralement traité dans des conditions qui garantissent que la limite est indépendante de l'état initial du système rapide. Dans le Chapitre 4, nous généralisons les résultats du Chapitre 3 supposant une condition de nonexpansivité plus générale. De plus, nous considérons un exemple ou la nouvelle condition de nonexpansivité est satisfaite, mais pas la condition de nonexpansivité du Chapitre 3. Dans la deuxième partie de la thèse, le Chapitre 5 porte sur les représentations stables des Hamiltoniens convexes associant à un Hamiltonien donné des fonctions correspondant au problème de Bolza en controle optimal. Dans le Chapitre 6 nous étudions également la stabilité des solutions des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman sous contraintes d'état en exploitant la stabilité des fonctions valeur d'une famille de problèmes de contrôle optimal de Bolza sous contraintes d'état. Nous montrons que sous des hypothèses appropriées, la fonction valeur est la solution unique d'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman et que les solutions sont stables par rapport à l'Hamiltonien et les contraintes d'état.

This thesis consists of two main parts. In the first part, Chapter 3 is devoted to the investigation of the limit behavior of a singularly perturbed control system with two state variables which are weakly coupled. In order to prove our approximation result we use the so called averaging method and a recent result on nonexpansive control. The main novelty of our averaging approach lies in the fact that the limit dynamic may depend on the initial condition of the fast system. In the literature, the investigation of the limit behavior of such systems has been usually addressed under conditions that ensure that the limit dynamic is independent from the initial condition of the fast system. In Chapter 4, we generalise the results of Chapter 3 by considering a more general nonexpansivity condition. Moreover, we consider an example where the new nonexpansity condition is satisfied but the nonexpansivity condition of Chapter 3 does not hold true. The second part deals with Hamilton-Jacobi equations under state constraints. Chapter 5 focuses on the stable representation of convex Hamiltonians by functions describing a Bolza optimal control problem. In Chapter 6 we investigate stability of solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations under state constraints by studying stability of value functions of a suitable family of Bolza optimal control problems under state constraints. We show that under suitable assumptions, the value function is a unique viscosity solution to Hamilton-Jacobi-Bellman equation and that solutions are stable with respect to Hamiltonians and state constraints.