Intermittent transport processes on surfaces

par Xuan Lan Phun

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Athanasios Batakis et de Michel Zinsmeister.

Le président du jury était Stéphane Seuret.

Le jury était composé de Athanasios Batakis, Michel Zinsmeister, Stéphane Seuret, Hermine Biermé, Luc Hillairet, Denis Grebenkov, Olivier Benichou.

Les rapporteurs étaient Hermine Biermé.

  • Titre traduit

    Processus de transport intemittent sur surfaces


  • Résumé

    Comment les protéïnes trouvent-elles leur chemin vers les rares endroits des molécules d’ADN où elles peuvent perpétuer le processus de vie ? De nombreuses études récentes tendent à prouver que seule une dynamique intermittente, c’est à dire à (au moins) deux régimes permet ce processus. L’objet principal de cette thèse est une étude rigoureuse d’un modèle simplifié de dynamique intermittente. Dans ce modèle la molécule alterne des dynamiques browniennes dans le "bulk" et sur la "surface" (i.e. la molécule d’ADN dans l’exemple plus haut) jusqu’à ce qu’elle atteigne sa cible, une petite fenêtre sur la surface: le temps passé par la molécule à la surface est naturellement modélisé comme une variable exponentielle de paramètre λ. Le principal résultat de la thèse est que quels que soient les paramètres, la recherche purement "par le bulk" n’est jamais optimale, ce qui légitime la thèse de la dynamique intermittente. On y caractérise aussi le cas où le temps optimal est atteint pour λ > 0. L’outil mathématique nouveau est l’introduction d’un opérateur autoadjoint et de sa base orthonormée de vecteurs propres. Cette étude permet d’obtenir un développement asymptotique à λ grand du temps moyen d’atteinte de la cible. Par ailleurs, un modèle nouveau est introduit: c’est celui du tore qui porte un paramètre supplémentaire, à savoir son module. Il est montre dans cette thèse que certaines valeurs du module conduisent à prouver que la stratégie intermittente est considérablement meilleure que celle de la pure diffusion dans le bulk.


  • Résumé

    How do proteins find their way towards the rare places on DNA molecules where they need to go in order to perpetuate the life process ? Many recent works tend to show that only an intermittent dynamics, that is a dynamics with two or more regimes, allows this process. The main goal of this PhD is a rigorous study of a simplified model of intermittent dynamics. In this model the molecule alternates diffusion in the bulk with a different kind of diffusion on the surface until it reaches its target consisting in a small window on the surface. The time spent by the molecule on the surface is naturally modeled as following an exponential law with parameter λ. The main result of this thesis is to show that, whatever the parameters are, a pure bulk strategy is never optimal, thus reinforcing the hypothesis of intermittent dynamics. One also characterizes the case where the optimal timed is attained for λ > 0. The new mathematical tool is the introduction of a self-adjoint operator and the use of its orthonormal basis of eigenvectors. This tool allows to obtain a precise asymptotic behavior of the mean exit time for λ large. Besides that a new geometrical model is developed, called the torus model. This new model carries a new parameter, namely its modulus. It is shown in this thesis that for some values of the modulus the optimized exit time is significantly (allowing experimental checking for instance) shorter than the pure bulk search.


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