Échantillonner les solutions de systèmes différentiels
Auteur / Autrice : | Christian Paul Chan Shio |
Direction : | Francine Diener |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 11/12/2014 |
Etablissement(s) : | Nice |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné |
Jury : | Examinateurs / Examinatrices : Francine Diener, Eduardo Mendoza, Gauthier Sallet, Augustin Fruchard |
Rapporteurs / Rapporteuses : Eduardo Mendoza, Gauthier Sallet |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Ce travail se propose d'étudier deux problèmes complémentaires concernant des systèmes différentiels à coefficients aléatoires étudiés au moyen de simulations de Monte Carlo. Le premier problème consiste à calculer la loi à un instant t* de la solution d'une équation différentielle à coefficients aléatoires. Comme on ne peut pas, en général, exprimer cette loi de probabilité au moyen d'une fonction connue, il est nécessaire d'avoir recours à une approche par simulation pour se faire une idée de cette loi. Mais cette approche ne peut pas toujours être utilisée à cause du phénomène d'explosion des solutions en temps fini. Ce problème peut être surmonté grâce à une compactification de l'ensemble des solutions. Une approximation de la loi au moyen d'un développement de chaos polynomial fournit un outil d'étude alternatif. La deuxième partie considère le problème d'estimer les coefficients d'un système différentiel quand une trajectoire du système est connue en un petit nombre d'instants. On utilise pour cela une méthode de Monté Carlo très simple, la méthode de rejet, qui ne fournit pas directement une estimation ponctuelle des coefficients mais plutôt un ensemble de valeurs compatibles avec les données. L'examen des propriétés de cette méthode permet de comprendre non seulement comment choisir les différents paramètres de la méthode mais aussi d'introduire quelques options plus efficaces. Celles-ci incluent une nouvelle méthode, que nous appelons la méthode de rejet séquentiel, ainsi que deux méthodes classiques, la méthode de Monte-Carlo par chaînes de Markov et la méthode de Monte-Carlo séquentielle dont nous examinons les performances sur différents exemples.