Étude de fonctionnelles géométriques dépendant de la courbure par des méthodes d'optimisation de formes. Applications aux fonctionnelles de Willmore et Canham-Helfrich

Study of geometric functionals depending on curvature by shape optimization methods. Applications to the functionals of Willmore and Canham-Helfrich

• Auteur / Autrice : Jérémy Dalphin
• Direction : Antoine Henrot, Takéo Takahashi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/12/2014
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Annie Raoult
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Antoine Henrot, Takéo Takahashi, Annie Raoult, Grégoire Allaire, Dorin Bucur, Simon Masnou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Grégoire Allaire, Giovanni Bellettini

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes sur les surfaces

Optimisation mathématique

Surfaces à courbure constante

Fonctionnelles de Willmore

Mots clés libres

Helfrich

Optimisation de formes

Condition de boule uniforme

Willmore

Énergies de courbure

Fonctionnelles géométriques

Helfrich

Shape optimization

Uniform ball condition

Willmore

Curvature depending energies

Geometric functionals

Résumé

En biologie, lorsqu'une quantité importante de phospholipides est insérée dans un milieu aqueux, ceux-Ci s'assemblent alors par paires pour former une bicouche, plus communément appelée vésicule. En 1973, Helfrich a proposé un modèle simple pour décrire la forme prise par une vésicule. Imposant la surface de la bicouche et le volume de fluide qu'elle contient, leur forme minimise une énergie élastique faisant intervenir des quantités géométriques comme la courbure, ainsi qu'une courbure spontanée mesurant l'asymétrie entre les deux couches. Les globules rouges sont des exemples de vésicules sur lesquels sont fixés un réseau de protéines jouant le rôle de squelette au sein de la membrane. Un des principaux travaux de la thèse fut d'introduire et étudier une condition de boule uniforme, notamment pour modéliser l'effet du squelette. Dans un premier temps, on cherche à minimiser l'énergie de Helfrich sans contrainte puis sous contrainte d'aire. Le cas d'une courbure spontanée nulle est connu sous le nom d'énergie de Willmore. Comme la sphère est un minimiseur global de l'énergie de Willmore, c'est un bon candidat pour être un minimiseur de l'énergie de Helfrich parmi les surfaces d'aire fixée. Notre première contribution dans cette thèse a été d'étudier son optimalité. On montre qu'en dehors d'un certain intervalle de paramètres, la sphère n'est plus un minimum global, ni même un minimum local. Par contre, elle est toujours un point critique. Ensuite, dans le cas de membranes à courbure spontanée négative, on se demande si la minimisation de l'énergie de Helfrich sous contrainte d'aire peut être effectuée en minimisant individuellement chaque terme. Cela nous conduit à minimiser la courbure moyenne totale sous contrainte d'aire et à déterminer si la sphère est la solution de ce problème. On montre que c'est le cas dans la classe des surfaces axisymétriques axiconvexes mais que ce n'est pas vrai en général.Enfin, lorsqu'une contrainte d'aire et de volume sont considérées simultanément, le minimiseur ne peut pas être une sphère qui n'est alors plus admissible. En utilisant le point de vue de l'optimisation de formes, la troisième et plus importante contribution de cette thèse est d'introduire une classe plus raisonnable de surfaces, pour laquelle l'existence d'un minimiseur suffisamment régulier est assurée pour des fonctionnelles et des contraintes générales faisant intervenir les propriétés d'ordre un et deux des surfaces. En s'inspirant de ce que fit Chenais en 1975 quand elle a considéré la propriété de cône uniforme, on considère les surfaces satisfaisant une condition de boule uniforme. On étudie d'abord des fonctionnelles purement géométriques puis nous autorisons la dépendance à travers la solution de problèmes aux limites elliptiques d'ordre deux posés sur le domaine intérieur à la surface

In biology, when a large amount of phospholipids is inserted in aqueous media, they immediatly gather in pairs to form bilayers also called vesicles. In 1973, Helfrich suggested a simple model to characterize the shapes of vesicles. Imposing the area of the bilayer and the volume of fluid it contains, their shape is minimizing a free-Bending energy involving geometric quantities like curvature, and also a spontanuous curvature measuring the asymmetry between the two layers. Red blood cells are typical examples of vesicles on which is fixed a network of proteins playing the role of a skeleton inside the membrane. One of the main work of this thesis is to introduce and study a uniform ball condition, in particular to model the effects of the skeleton. First, we minimize the Helfrich energy without constraint then with an area constraint. The case of zero spontaneous curvature is known as the Willmore energy. Since the sphere is the global minimizer of the Willmore energy, it is a good candidate to be a minimizer of the Helfrich energy among surfaces of prescribed area. Our first main contribution in this thesis was to study its optimality. We show that apart from a specific interval of parameters, the sphere is no more a global minimizer, neither a local minimizer. However, it is always a critical point. Then, in the specific case of membranes with negative spontaneous curvature, one can wonder whether the minimization of the Helfrich energy with an area constraint can be done by minimizing individually each term. This leads us to minimize total mean curvature with prescribed area and to determine if the sphere is a solution to this problem. We show that it is the case in the class of axisymmetric axiconvex surfaces but that it does not hold true in the general case. Finally, considering both area and volume constraints, the minimizer cannot be the sphere, which is no more admissible. Using the shape optimization point of view, the third main and most important contribution of this thesis is to introduce a more reasonable class of surfaces, in which the existence of an enough regular minimizer is ensured for general functionals and constraints involving the first- and second-Order geometric properties of surfaces. Inspired by what Chenais did in 1975 when she considered the uniform cone property, we consider surfaces satisfying a uniform ball condition. We first study purely geometric functionals then we allow a dependence through the solution of some second-Order elliptic boundary value problems posed on the inner domain enclosed by the shape