Différentes approches de la théorie l-adique du corps des classes.

Different approaches of l-afic class field theory

• Auteur / Autrice : Stephanie Reglade
• Direction : Jean-François Jaulent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 08/09/2014
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement d'accueil : Université Bordeaux-I (1971-2013)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Florence Soriano-Gafiuk
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Anglès, Karim Belabas
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Maire, Abbas Movahhedi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres algébriques

Extensions abéliennes

Corps de classe

Mots clés libres

Théorie du corps des classes

Théorie l-adique du corps des classes

Corps des classes de rayon logarithmique

Class field theory

L-adic class field theory

Logarithmic ray class field

Résumé

Neukirch a développé la théorie abstraite du corps des classes dans son livre "Class Field Theory". Nous montrons qu'il est possible de déduire la théorie ℓ-adique de Jaulentdu travail de Neukirch. La preuve nécessite, dans les deux cas (le cas local et le cas global) de définir les applications degré, les G-modules, valuations convenables et de prouver l'axiome du corps des classes. Puis nous montrons qu'en considérant le même objet local, mais cette fois-ci muni de la valuation logarithmique, et en remplaçant l'extension maximale non ramifiée du corps local considéré par la ℤℓ-extension cyclotomique, la théorie de Neukirch s'applique également, permettant ainsi de définir un symbole local logarithmique et un symbole global. Nous sommes alors en mesure de définir le Frobenius logarithmique associé à une place p logarithmiquement non ramifiée, ce qui conduit naturellement à une application d'Artin logarithmique, dont nous étudions le noyau et les propriétés. Cela nécessite au préalable de définir le conducteur logarithmique associé à une ℓ-extension abélienne finie. Nous introduisons alors les sous-modules de congruences logarithmiques, pour lesquels nous définissons le conducteur logarithmique associé à une classe d'équivalence sur ces modules. Nous prouvons l'égalité entre le conducteur logarithmique global d'une ℓ-extension et le conducteur de la classe de congruences qui lui est associé.

Neukirch developedabstract class field theoryin his famousbook "Class Field Theory". Weshow that it ispossible to derive Jaulent's ℓ-adic class fieldfrom Neukirch's framework. Theproof requiresin bothcases (local case and global case) to define suitable degree maps, G-modules, valuations and to prove the class fieldaxiom. Then we study thelocal object endowed with the logarithmic valuation introduced by Jaulent and wereplace here the maximal, abelian unramified pro-ℓ-extension of our local field by the ℤℓ-cyclotomic one, and the usualvaluation by the logarithmic one. Weshow that Neukich'sabstract theory appliesin this context, and allows to definea logarithmic local symbol and a global one. This allows to define the logarithmic Frobenius, in the context of the logarithmic ramification, and the logarithmic Artin map. We study its propertiesand its kernel. This requires before to define the logarithmic conductor. Then we introduce logarithmic congruences sub-modules, and the conductor attached to the coset of sucha module. We prove that both conductors coincide.