Lien entre le seuil d'interaction à longue-portée et la topologie des réseaux.

Influence of Network topology on the onset of long-range interaction

• Auteur / Autrice : Sarah De Nigris
• Direction : Xavier Leoncini
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique Théorique et Mathématique
• Date : Soutenance le 10/06/2014
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Physique et Sciences de la Matière (Marseille)
• Jury : Président / Présidente : Alberto Verga
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Véronique Serfaty, Jacques-Alexandre Sepulchre, Alain Barrat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Timoteo Carletti, Christophe Josserand

Mots clés

Mots clés contrôlés

Spin

Routage (informatique)

Systèmes hamiltoniens

Mots clés libres

Systèmes hamiltoniens

Réseaux

Transition de phase

Physique statistique

Chaos

Hamiltonian systems

Networks

Phase transitions

Statistical physics

Chaos

Résumé

Dans cette thèse, nous discutons l'influence d'un réseau qui possède une topologie non triviale sur les propriétés collectives d'un modèle hamiltonien pour spins,le modèle XY, défini sur ces réseaux.Nous nous concentrons d'abord sur la topologie des chaînes régulières et du réseau Petit Monde (Small World), créé avec le modèle Watt- Strogatz.Nous contrôlons ces réseaux par deux paramètres γ, pour le nombre d' interactions et p, la probabilité de ré-attacher un lien aléatoirement.On définit deux mesures, le chemin moyen ℓ et la connectivité C et nous analysons leur dépendance de (γ,p). Ensuite,nous considérons le comportement du modèle XY sur la chaîne régulière et nous trouvons deux régimes: un pour γ≺1,5,qui ne présente pas d'ordre longue portée et un pour γ≻1,5 où une transition de phase du second ordre apparaît.Nous observons l'existence d'un état métastable pour γc=1,5. Sur les réseaux Petit Monde,nous illustrons les conditions pour avoir une transition et comment son énergie critique εc(γ,p) dépend des paramètres (γ,p).Enfin,nous proposons un modèle de réseau où les liens d'une chaîne régulière sont ré-attachés aléatoirement avec une probabilité p dans un rayon spécifique r. Nous identifions la dimension du réseau d(p,r) comme un paramètre crucial:en le variant,il nous est possible de passer de réseaux avec d≺2 qui ne présentent pas de transition de phase à des configurations avec d≻2 présentant une transition de phase du second ordre, en passant par des régimes de dimension d=2 qui présentent des états caractérisés par une susceptibilité infinie et une dynamique chaotique.

In this thesis we discuss the influence of a non trivial network topology on the collective properties of an Hamiltonian model defined on it, the XY -rotors model. We first focus on networks topology analysis, considering the regular chain and a Small World network, created with the Watt-Strogatz model. We parametrize these topologies via γ, giving the vertex degree and p, the probability of rewiring. We then define two topological parameters, the average path length ℓ and the connectivity C and we analize their dependence on γ and p. Secondly, we consider the behavior of the XY- model on the regular chain and we find two regimes: one for γ≺1.5, which does not display any long-range order and one for γ≻1.5 in which a second order phase transition of the magnetization arises. Moreover we observe the existence of a metastable state appearing for γc=1.5. Finally we illustrate in what conditions we retrieve the phase transition on Small World networks and how its critical energy εc(γ,p) depends on the topological parameters γ and p. In the last part, we propose a network model in which links of a regular chain are rewired according to a probability p within a specific range r. We identify a quantity, the network dimension d(p,r) as a crucial parameter. Varying this dimension we are able to cross over from topologies with d≺2 exhibiting no phase transitions to ones with d≻2 displaying a second order phase transition, passing by topologies with dimension d=2 which exhibit states characterized by infinite susceptibility and macroscopic chaotic dynamical behavior.