Polynomes sur les corps finis pour la cryptographie

Polynomials over finite fields for cryptography

• Auteur / Autrice : Florian Caullery
• Direction : François Rodier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/05/2014
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne Canteaut
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kai-Uwe Schmidt, Yves Aubry
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry Berger, Claude Carlet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éclatement (mathématiques)

Géométrie algébrique

Corps finis

Mots clés libres

Corps finis

Fonctions polynômiales

Cryptographie symétrique

Géométrie algébrique

Fonction presque parfaitement non linéaire

Plan projectif

Ovale

Hyperovale

Code correcteurs d'erreurs

Finite fields

Polynomial functions

Symmetric cryptography

Algebraic geometry

Almost Perfectly Nonlinearity

Projective plane

Oval

Hyperoval

Error correcting code

Résumé

Les fonctions de F_q dans lui-même sont des objets étudiés dans de divers domaines tels que la cryptographie, la théorie des codes correcteurs d'erreurs, la géométrie finie ainsi que la géométrie algébrique. Il est bien connu que ces fonctions sont en correspondance exacte avec les polynômes en une variable à coefficients dans F_q. Nous étudierons trois classes de polynômes particulières: les polynômes Presque Parfaitement Non linéaires (Almost Perfect Nonlinear (APN)), les polynômes planaires ou parfaitement non linéaire (PN) et les o-polynômes.Les fonctions APN sont principalement étudiées pour leurs applications en cryptographie. En effet, ces fonctions sont celles qui offre la meilleure résistance contre la cryptanalyse différentielle.Les polynômes PN et les o-polynômes sont eux liés à des problèmes célèbres de géométrie finie. Les premiers décrivent des plans projectifs et les seconds sont en correspondance directe avec les ovales et hyperovales de P^2(F_q). Néanmoins, leurs champ d'application a été récemment étendu à la cryptographie symétrique et à la théorie des codes correcteurs d'erreurs.L'un des moyens utilisé pour compléter la classification est de considérer les polynômes présentant l'une des propriétés recherchées sur une infinité d'extension de F_q. Ces fonctions sont appelées fonction APN (respectivement PN ou o-polynômes) exceptionnelles.Nous étendrons la classification des polynômes APN et PN exceptionnels et nous donneront une description complète des o-polynômes exceptionnels. Les techniques employées sont basées principalement sur la borne de Lang-Weil et sur des méthodes élémentaires.

Functions from F_q to itself are interesting objects arising in various domains such as cryptography, coding theory, finite geometry or algebraic geometry. It is well known that these functions admit a univariate polynomial representation. There exists many interesting classes of such polynomials with plenty of applications in pure or applied maths. We are interested in three of them: Almost Perfect Nonlinear (APN) polynomials, Planar (PN) polynomials and o-polynomials. APN polynomials are mostly used in cryptography to provide S-boxes with the best resistance to differential cryptanalysis and in coding theory to construct double error-correcting codes. PN polynomials and o-polynomials first appeared in finite geometry. They give rise respectively to projective planes and ovals in P^2(F_q). Also, their field of applications was recently extended to symmetric cryptography and error-correcting codes.A complete classification of APN, PN and o-polynomials is an interesting open problem that has been widely studied by many authors. A first approach toward the classification was to consider only power functions and the studies were recently extended to polynomial functions.One way to face the problem of the classification is to consider the polynomials that are APN, PN or o-polynomials over infinitely many extensions of F_q, namely, the exceptional APN, PN or o-polynomials.We improve the partial classification of exceptional APN and PN polynomials and give a full classification of exceptional o-polynomials. The proof technique is based on the Lang-Weil bound for the number of rational points in algebraic varieties together with elementary methods.