Structures Hopf-algébriques et opéradiques sur différentes familles d'arbres

Hopf-algebraics and operadics structures on different families of trees

• Auteur / Autrice : Anthony Mansuy
• Direction : Loïc Foissy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences - STS
• Date : Soutenance le 31/05/2013
• Etablissement(s) : Reims
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Sciences, technologies, santé (Reims, Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Reims (LMR) - CNRS UMR 9008 (Reims, France)
• Jury : Président / Présidente : Jean Yves Thibon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Loïc Foissy, Jacques Alev, Muriel Livernet, Frédéric Patras
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dominique Manchon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie

Hopf, Algèbres de

Mots clés libres

Combinatoires algébriques

Algèbres de Hopf

Arbres

Opérades quadratiques

Dualité de Koszul

Battages et battages contractants

Algebraic combinatorics

Hopf algebras

Trees

Quadratic operads

Koszul duality

Shuffle and quasi-shuffle

Résumé

Nous introduisons les notions de forêts préordonnées et préordonnées en tas, généralisant les constructions des forêts ordonnées et ordonnées en tas. On démontre que les algèbres des forêts préordonnées et préordonnées en tas sont des algèbres de Hopf pour le coproduit de coupes et on construit un morphisme d'algèbres de Hopf dans l'algèbre des mots tassés. Ensuite, nous définissons un autre coproduit sur les forêts préordonnées donné par la contraction d'arêtes et nous donnons une description combinatoire de morphismes définis sur des algèbres de Hopf de forêts et à valeurs dans les algèbres de Hopf de battages et de battages contractants. Par ailleurs, nous introduisons la notion d'algèbre bigreffe, généralisant les notions d'algèbres de greffes à gauche et à droite. Nous décrivons l'algèbre bigreffe libre engendrée par un générateur et nous munissons cette algèbre d'une structure d'algèbre de Hopf et d'un couplage. Nous étudions ensuite le dual de Koszul de l'operade bigreffe et nous donnons une description combinatoire de l'algèbre bigreffe dual engendrée par un générateur. A l'aide d'une méthode de réécriture, nous prouvons que l'opérade bigreffe est Koszul. Nous définissons la notion de bialgèbre bigreffe infinitésimale et nous prouvons un analogue des théorèmes de Poincaré-Birkhoff-Witt et de Cartier-Milnor-Moore pour les bialgèbres bigreffe infinitésimales connexes. Pour finir, à partir de deux opérateurs de greffes, nous construisons des algèbres de Hopf d'arbres enracinés et ordonnés B^{i},i∈N^{∗},B^{∞} et B vérifiant les relations d'inclusions B¹⊆...B^{i}⊆B^{i+1}⊆...⊆B^{∞}⊆B. On munit Bd'une structure de bialgèbre dupliciale dendriforme et on en déduit que B est colibre et auto-duale. Nous démontrons que B est engendrée comme algèbre bigreffe par un générateur.

We introduce the notions of preordered and heap-preordered forests, generalizing the construction of ordered and heap-ordered forests. We prove that the algebras of preordered and heap-preordered forests are Hopf for the cut coproduct, and we construct a Hopf morphism to the Hopf algebra of packed words. In addition, we define another coproduct on the preordered forests given by the contraction of edges, and we give a combinatorial description of morphims defined on Hopf algebras of forests with values in the Hopf algebras of shuffes or quasi-shuffles. Moreover, we introduce the notion of bigraft algebra, generalizing the notions of left and right graft algebras. We describe the free bigraft algebra generated by one generator and we endow this algebra with a Hopf algebra structure, and a pairing. Next, we study the Koszul dual of the bigraft operad and we give a combinatorial description of the free dual bigraft algebra generated by one generator. With the help of a rewriting method, we prove that the bigraft operad is Koszul. We define the notion of infinitesimal bigraft bialgebra and we prove an analogue of Poincaré-Birkhoff-Witt and Cartier-Milnor-Moore theorems for connected infinitesimal bigraft bialgebras. Finally, with two grafting operators, we construct Hopf algebras of rooted and ordered trees B^{i},i∈N^{∗},B^{∞} and B satisfying the inclusion relations B¹⊆...B^{i}⊆B^{i+1}⊆...⊆B^{∞}⊆B. We endow B with a structure of duplicial dendriform bialgebra and we deduce that B is cofree and self-dual. We prove that B is generated as bigraft algebra by one generator.