Asymptotic properties of the dynamics near stationary solutions for some nonlinear Schrödinger équations
Propriétés asymptotiques de la dynamique dans un voisinage des solutions stationnaires de certaines équations de Schrödinger non-linéaires
Résumé
The present thesis is devoted to the investigation of certain aspects of the large time behavior of the solutions of two nonlinear Schrödinger equations in dimension three in some suitable perturbative regimes. The first model consist in a Schrödinger equation with a concentrated nonlinearity obtained considering a {point} (or contact) interaction with strength α, which consists of a singular perturbation of the Laplacian described by a self adjoint operator H_α, and letting the strength α depend on the wave function: i({du}/{dt})=H_{α}u, α=α(u). It is well-known that the elements of the domain of a point interaction in three dimensions can be written as the sum of a regular function and a function that exhibits a singularity proportional to |x - x₀|⁻¹, where x₀ is the location of the point interaction. If q is the so-called charge of the domain element u, i.e. the coefficient of itssingular part, then, in order to introduce a nonlinearity, we let the strength α depend on u according to the law α=-ν|q|^{σ}, with ν ≻ 0. This characterizes the model as a focusing NLS with concentrated nonlinearity of power type. In particular, we study orbital and asymptotic stability of standing waves for such a model. We prove the existence of standing waves of the form u(t)=e^{iωt}Φ_{ω}, which are orbitally stable in the range σ∈(0,1), and orbitally unstable for σ ≥ 1. Moreover, we show that for σ∈(0, 1/√2)∪(1/√2, (√3+1)/(2√2)) every standing wave is asymptotically stable, in the following sense. Choosing an initial data close to the stationary state in the energy norm, and belonging to a natural weighted L^p space which allows dispersive stimates, the following resolution holds: u(t) = e^{iω_{∞}t+il(t)} Φ_{ω_{∞}} + U_t * ψ_{∞} + r_{∞}, where U_t is the free Schrödinger propagator, ω_{∞} ≻ 0 and ψ_{∞}, r_{∞} ∈ L²(ℝ³) with ||r_{∞}||_{L²} = O(t^{-p}) as t → +∞, p = 5/4, 1/4 depending on σ∈(0,1/√2), σ∈(1/√2, 1), respectively, and finally l(t) is a logarithmic increasing function that appears when σ∈(1/√2,σ*), for a certain σ*∈(1/√2 (√3 + 1)/(2√2)]. Notice that in the present model the admitted nonlinearities for which asymptotic stability of solitons is proved, are subcritical in the sense that it does not give rise to blow up, regardless of the chosen initial data. The second model is the energy critical focusing nonlinear Schrödinger equation i({du}/{dt})=-Δu-|u|^{4}u. In this case we prove, for any ν and α₀ sufficiently small, the existence of radial finite energy solutions of the form u(t,x)=e^{iα(t)}λ^{1/2}(t)W(λ(t)x)+e^{iΔt}ζ^*+o_{⋅H¹}(1) as t → +∞, where α(t)=α_₀lnt, λ(t)=t^{ν}, W(x)=(1+(1/3)|x|²)^{-1/2} is the ground state and ζ^* is arbitrarily small in ⋅H¹
Cette thèse est consacrée à l'étude de certains aspects du comportement en temps longs des solutions de deux équations de Schrödinger non-linéaires en dimension trois dans des régimes perturbatives convenables. Le premier modèle consiste en une équation de Schrödinger avec une non-linéarité concentrée obtenue en considérant une interaction ponctuelle de force α, c'est-à-dire une perturbation singulière du Laplacien décrite par un opérateur autoadjoint H_α, où la force α dépend de la fonction d'onde : i({du}/{dt})=H_{α}u, α=α(u). Il est bien connu que les éléments du domaine d'une interaction ponctuelle en trois dimensions peuvent être décrits comme la somme d'une fonction régulière et d'une fonction ayant une singularité proportionnelle à |x - x₀|⁻¹, où x₀ est l'emplacement du point d'interaction. Si q est la charge d'un élément du domaine u, c'est-à-dire le coefficient de sa partie singulière, alors pour introduire une non-linéarité, on fait dépendre la force α de u selon la loi α=-ν|q|^{σ}, avec ν ≻ 0. Ce modèle est défini comme une équation de Schrödinger non-linéaire focalisant de type puissance avec une non-linéarité concentrée en x₀. Notre étude regarde la stabilité orbitale et asymptotique des ondes stationnaires de ce modèle. Nous prouvons l'existence d'ondes stationnaires de la forme u(t)=e^{iωt}Φ_{ω}, qui soient orbitalement stables pour σ∈(0,1) et orbitalement instables quand σ ≥ 1. De plus nous montrons que si σ∈(0, 1/√2)∪(1/√2, (√3+1)/(2√2)), alors chaque onde stationnaire est asymptotiquement stable, à savoir que pour des données initiales proches d'un état stationnaire dans la norme d'énergie et appartenant à un espace L^p pondéré où les estimations dispersives sont valides, l'affirmation suivante est vérifiée : il existe ω_{∞} ≻ 0 et ψ_{∞} ∈ L²(R³) tel que ψ_{∞} = O_{L²}(t^{-p}) quand t → +∞, tel que u(t) = e^{iω_{∞}t+il(t)} Φ_{ω_{∞}} + U_t * ψ_{∞} + r_{∞}, où [dollar]U_t[dollar] est le propagateur de Schrödinger libre, p = 5/4, 1/4 respectivement en fonction de σ∈(0,1/√2), σ∈(1/√2, (√3 + 1)/(2√2)), et l(t) est une fonction à croissance logarithmique qui apparaît quand σ∈(1/√2,σ*), où σ*∈(1/√2 (√3 + 1)/(2√2)]. Notons que dans ce modèle les non-linéarités pour lesquelles on a la stabilité asymptotique sont sous-critiques dans le sens où quelle que soit la donnée initiale il n'y a pas de solutions explosives. Quant au deuxième modèle, il s'agit de l'équation de Schrödinger non-linéaire focalisant à énergie critique : i({du}/{dt})=-Δu-|u|^{4}u. Pour ce cas, nous prouvons, pour tout ν et α₀ suffisamment petits, l'existence de solutions radiales à énergie finie de la forme u(t,x)=e^{iα(t)}λ^{1/2}(t)W(λ(t)x)+e^{iΔt}ζ^*+o_{⋅H¹}(1) tout t → +∞, où α(t)=α_₀lnt, λ(t)=t^{ν}, W(x)=(1+(1/3)|x|²)^{-1/2} est l'état stationnaire et ζ^* est arbitrairement petit en ⋅H¹
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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